Можно ли показать, что γ5†=γ5γ5†=γ5{\gamma^5}^\dagger = \gamma^5 непосредственно из антикоммутационных соотношений?

Question

Можно ли показать, что γ5†=γ5γ5†=γ5{\gamma^5}^\dagger = \gamma^5 непосредственно из антикоммутационных соотношений?

Физика
матрицы Дирака
квантовая механика
теория представлений

ППР

Можно ли показать, что ${\gamma^5}^\dagger = \gamma^5$ , куда

γ^{5} знак равно я γ^{0} γ^{1} γ^{2} γ^{3},

$\gamma^5 := i\gamma^0 \gamma^1 \gamma^2 \gamma^3,$ используя только антикоммутационные соотношения между

γ

$\gamma$ матрицы,

{γ^{мю}, γ^{ν}} знак равно 2 η^{мю ν} 1,

$\left\{\gamma^\mu,\,\gamma^\nu\right\}=2\eta^{\mu\nu}\,\mathbb{1},$ и без использования какого-либо конкретного представления этой алгебры и аргумента унитарной инвариантности, как это обычно делается?

Мартин

тебе нужно это знать

γ^{μ †} = γ^{μ}

$\gamma^{\mu \dagger}=\gamma^{\mu}$ для всех

μ = 0, 1, 2, 3

$\mu=0,1,2,3$ , то это прямо вперед.

ППР

Мартин: Как вы это показываете?

Лайонелбритс

Разве это не

γ^{1, 2, 3}

$\gamma^{1,2,3}$ антиэрмит?

ППР

Это зависит от выбранного вами представления.

пользователь26143

γ^{μ †} = γ^{0} γ^{μ} γ^{0}

$\gamma^{\mu\dagger}=\gamma^0 \gamma^{\mu} \gamma^0$ а также

[γ^{μ}, γ^{ν}]_{+} = 2 η^{μ ν}

$[\gamma^{\mu},\gamma^{\nu}]_+=2\eta^{\mu\nu}$ . Для +--- метрики,

γ^{0}

$\gamma^0$ является эрмитовым и

γ^{i}, i = 1, 2, 3

$\gamma^i,i=1,2,3$ является антиэрмитовским. Для показателя -++++

γ^{0}

$\gamma^0$ является антиэрмитовским и

γ^{i}

$\gamma^i$ является эрмитовым. Возможно, это не из-за представительства.

пользователь26143

Без информации о гермитичности гамма-матриц, как обеспечить гермитичность гамильтониана в уравнении Дирака?

Лайонелбритс

Ну, нечетное число гамма-матриц будет менять знак под эрмитово-сопряженным, и

i

$i$ позаботится о знаке. Антикоммутационное отношение позаботится о переупорядочении всех терминов.

Qмеханик

Связанный метапост: meta.physics.stackexchange.com/q/5258/2451

Эмилио Писанти

Что вы готовы предположить об эрмитовости других гамма-матриц? Если у вас нет такой гипотезы, то что именно вы подразумеваете под

^{†}

${}^\dagger$ , тогда?

пользователь10001

@CrazyBuddy Этот вопрос не по теме. Qmechanic думает так же. См. его комментарий к этому метапосту .

Безумный арахис вафли

@ user10001: Готово. После доработки Эмилио, я думаю, стоит открыть заново. Ваше здоровье :)

Ответы (2)

Можно ли показать, что γ5†=γ5γ5†=γ5{\gamma^5}^\dagger = \gamma^5 непосредственно из антикоммутационных соотношений?

тебе нужно это знать $\gamma^{\mu \dagger}=\gamma^{\mu}$ для всех $\mu=0,1,2,3$ , то это прямо вперед.
Это зависит от выбранного вами представления.
$\gamma^{\mu\dagger}=\gamma^0 \gamma^{\mu} \gamma^0$ а также $[\gamma^{\mu},\gamma^{\nu}]_+=2\eta^{\mu\nu}$ . Для +--- метрики, $\gamma^0$ является эрмитовым и $\gamma^i,i=1,2,3$ является антиэрмитовским. Для показателя -++++ $\gamma^0$ является антиэрмитовским и $\gamma^i$ является эрмитовым. Возможно, это не из-за представительства.
Без информации о гермитичности гамма-матриц, как обеспечить гермитичность гамильтониана в уравнении Дирака?
Ну, нечетное число гамма-матриц будет менять знак под эрмитово-сопряженным, и $i$ позаботится о знаке. Антикоммутационное отношение позаботится о переупорядочении всех терминов.
Связанный метапост: meta.physics.stackexchange.com/q/5258/2451
Что вы готовы предположить об эрмитовости других гамма-матриц? Если у вас нет такой гипотезы, то что именно вы подразумеваете под ${}^\dagger$ , тогда?
@CrazyBuddy Этот вопрос не по теме. Qmechanic думает так же. См. его комментарий к этому метапосту .
@ user10001: Готово. После доработки Эмилио, я думаю, стоит открыть заново. Ваше здоровье :)

Нойнек · Answer 1

Нойнек

Как объяснялось в комментариях, вам нужно знать несколько свойств $\gamma$ матрицы. Прежде всего, из

{γ_{мю}, γ_{ν}} знак равно 2 η_{мю ν} 1_{4}

$\{\gamma_\mu, \gamma_\nu\} = 2 \eta_{\mu \nu} \mathbf{1}_4$ можно заключить, что (в зависимости от метрики, но не от представления алгебры Дирака!) в (+---) метрике

γ_{0}

$\gamma_0$ является эрмитовым (подсказка: посмотрите на

μ = 0, ν = 0

$\mu = 0, \nu = 0$ компонент вышеприведенного уравнения), в то время как

γ_{i}

$\gamma_i$ (

i = 1, 2, 3

$i = 1, 2, 3$ ) являются антиэрмитовыми. (В метрике -+++ это будет взаимозаменяемо). И это должно позволить вам решить проблему.

Свойства герметичности можно свести к

γ_{мю}^{†} знак равно γ_{0} γ_{мю} γ_{0}

$\gamma_\mu^\dagger = \gamma_0 \gamma_\mu \gamma_0$ который просто воспроизводит вышеизложенное, если принять во внимание свойства коммутации.

ППР

Уважаемый Нойнек, спасибо за ваш ответ. Мне не хватает одного: как вы это показываете

(γ^{0})^{2} = 1

$(\gamma^0)^2=\mathbb{1}$ приводит к

(γ^{0})^{†} = γ^{0}

$(\gamma^0)^\dagger = \gamma^0$ , и что

(γ^{j})^{2} = - 1

$(\gamma^j)^2=-\mathbb{1}$ приводит к

(γ^{j})^{†} = - γ^{j}

$(\gamma^j)^\dagger = - \gamma^j$ ?

Нойнек

@Psycho_pr Я думаю, что самый простой способ увидеть, что это верно для представления Дирака (как подробно описано в Википедии ), и использовать тот факт, что все представления алгебры Клиффорда унитарно эквивалентны, то есть связаны преобразованием

γ_{мю} \to U^{†} γ_{мю} U

$\gamma_\mu \to U^\dagger \gamma_\mu U$ с

U^{†} U = 1

$U^\dagger U = \mathbf 1$ , что оставляет неизменными свойства полушария.

ППР

Хм, но если мы все равно собираемся смотреть на конкретное представление, зачем нам это знать?

(γ^{0})^{2} = 1

$(\gamma^0)^2 = \mathbb{1}$ и что

(γ^{j})^{2} = - 1

$(\gamma^j)^2=-\mathbb{1}$ ? Мы могли бы сразу показать свойства эрмитовости в представлениях Дирака (или Вейля), а затем показать, что она остается инвариантной относительно унитарных преобразований. Я что-то упускаю?

Нойнек

Полное доказательство включает в себя демонстрацию того, что гамма-матрицы являются основой (конечномерного представления) бесконечной группы. Следовательно, они должны быть унитарными, и использование этого в дополнение к отношениям, которые я дал, подразумевает свойства сопряжения. -- Извините, что не упомянул об этом раньше.

пользователь26143

Я думаю, вы пытались следовать QFT Пескина, стр. 50 «Матрица

γ^{5}

$\gamma^5$ имеет следующие свойства, все из которых могут быть проверены с помощью (3.68) и антикоммутативного соотношения (3.22)". Я не думаю, что этого достаточно. Нужно использовать свойства эрмитичности гамма-матриц. Свойства эрмитичности гамма-матриц равны требование эрмитичности гамильтониана Дирака. Использовать их естественно. Как только мы примем эрмитовость гамма-матриц, доказательство

γ^{5 †} = γ^{5}

$\gamma^{5\dagger}=\gamma^5$ прост.

пользователь26143

Вы можете доказать гермитичность (и антигермитность) из старомодного уравнения Дирака,

H = α \cdot p + β m

$H=\mathbf{\alpha} \cdot \mathbf{p} + \beta m$ (под +--- метрика),

γ^{0} := β, γ^{i} := β α^{i}

$\gamma^0:=\beta, \gamma^i:=\beta \alpha^i$ ,

β^{†} = β

$\beta^{\dagger}=\beta$ ,

α^{i †} = α^{i}

$\alpha^{i\dagger}=\alpha^i$ и антикоммутативные отношения

α, β

$\alpha,\beta$ матрицы.

ППР

@ user26143, именно это я и пытался сделать. У Нойнека: То есть, если я правильно понимаю, схема такая:

(γ^{0})^{2} = 1

$(\gamma^0)^2=\mathbb{1}$ а также

(γ^{j})^{2} = - 1

$(\gamma^j)^2=-\mathbb{1}$ из коммутационных соотношений и гамма-матрицы должны быть унитарными по причине, которую вы упомянули, поэтому вместе эти два факта подразумевают отношения Эрмитизма. Таким образом, с этими двумя фактами мы никогда не использовали какое-либо конкретное представление (за исключением, может быть, доказательства унитарности гамма-матриц).

пользователь26143

Хорошо, если бы можно было использовать информацию о конкретном представлении (плюс унитарная эквивалентность), то гермитичность является следствием... Тем не менее, я бы сказал, что эрмитичность необходима для того, чтобы оправдать, что представление Дирака является правильным представлением......

Эмилио Писанти

Небольшое замечание: возведение в квадрат к тождеству не означает, что матрица является эрмитовой. Контрпример

М знак равно (\begin{matrix} - 1 & - 2 \\ 0 & 1 \end{matrix}) .

$M=\begin{pmatrix}-1&-2\\ \phantom{-}0&\phantom{-}1\end{pmatrix}.$ Этот ответ все еще актуален в свете этого факта?

ППР

@EmilioPisanty, по словам Нойнека,

γ^{0}

$\gamma^0$ является одновременно идемпотентным и унитарным. Эти два факта вместе, предположительно, подразумевают Отшельничество. Это правда?

Нойнек

Да. Для унитарных матриц с

A^{2} = 1

$A^2 =1$ у нас есть

А знак равно А^{- 1} знак равно А^{†}

$A = A^{-1} = A^\dagger$ .

Нойнек

@ user26143 Вы можете проверить, что представитель Dirac. является «правильным представлением» путем перебора их через антикоммутационные соотношения. Как я уже упоминал, унитарность является следствием конечномерных представлений алгебры Клиффорда (хотя я до сих пор не могу назвать теорему, извините)

Эмилио Писанти

@Psycho_pr Это правильно. Однако следует помнить, что если вы предполагаете

β

$\beta$ эрмитов, то вы уже там. Если вы не признаете гипотезу, связывающую гамма-матрицы со структурой внутреннего произведения, вы никогда не докажете свой результат.

пользователь26143

@Neuneck Я не уверен, что антикоммутативное отношение гамма-матриц достаточно для уравнения Дирака, хотя можно сказать, что поле Дирака - это просто спинорное представление группы Пуанкаре. Из гамильтониана

ЧАС знак равно \int д^{3} Икс ψ^{†} [- я γ^{0} \vec{γ} \cdot \vec{\nabla} + м γ^{0}] ψ знак равно \int д^{3} Икс ψ^{†} [γ^{0} \vec{γ} \cdot \vec{п} + м γ^{0}] ψ

$H= \int d^3 x \psi^{\dagger} [ - i \gamma^0 \vec{\gamma} \cdot \vec{{\nabla}} + m \gamma^0 ] \psi = \int d^3 x \psi^{\dagger} [ \gamma^0 \vec{\gamma} \cdot \vec{p} + m \gamma^0 ] \psi$ , для обеспечения

H^{†} = H

$H^{\dagger}=H$ , мне нужна Гермичность

γ

$\gamma$ . Не могли бы вы предоставить ссылку на то, что унитарность является следствием конечномерных повторений алгебры Клиффорда? Спасибо

Воутер · Answer 2

Попробуйте использовать определение $\gamma^5$ и просто применить спряжение. Помните, что сопряжение меняет порядок матриц, а это значит, что вы хотите изменить их порядок перед применением сопряжения.

Затем поймите, что антикоммутационные соотношения дают вам способ поменять местами две гамма-матрицы, давая только знак минус (при условии, что индексы разные).

Наконец, обратите внимание, что независимо от вашего соглашения, у вас есть нечетное количество антиэрмитовых матриц в этом выражении (в то время как остальные эрмитовы).

Можно ли показать, что γ5†=γ5γ5†=γ5{\gamma^5}^\dagger = \gamma^5 непосредственно из антикоммутационных соотношений?

ППР

Мартин

ППР

Лайонелбритс

ППР

пользователь26143

пользователь26143

Лайонелбритс

Qмеханик

Эмилио Писанти

пользователь10001

Безумный арахис вафли

Ответы (2)

Нойнек

ППР

Нойнек

ППР

Нойнек

пользователь26143

пользователь26143

ППР

пользователь26143

Эмилио Писанти

ППР

Нойнек

Нойнек

Эмилио Писанти

пользователь26143

Воутер

Почему матрицы самого низкого порядка в уравнении Дирака являются матрицами 4x4? [дубликат]

Порядок матрицы в уравнениях Дирака

Как найти конкретное представление для гамма-матриц?

Почему двухэлектронные системы обычно описывают в синглет-триплетном базисе?

Упрощение суммы произведений коэффициентов Клебша-Гордана

Рекомендация книги по квантовой механике (с конкретными параметрами)

Какое преобразование дает представление типа Вейля путем перестановки γ0γ0\gamma^0 и γ5γ5\gamma^5?

Что значит \mu_{\phantom{\mu}\nu}\gamma^\nu означает?

Что на самом деле представляют собой сектора суперотбора и для чего они используются?

Почему электрон вращается с определенным наклоном?