Почему матрицы самого низкого порядка в уравнении Дирака являются матрицами 4x4? [дубликат]

Это не доказательство, но хоть какой-то вкус.

Для$3$пространственное пространство (без времени), представление$3$гамма-матрицы$\gamma^i$($i =1,2,3$) являются просто$2*2$Матрицы Паули$\sigma^i$проверка : {$\gamma^i, \gamma^i$}$= 2 \delta_{ij}$. Так, для пространства с$3$пространственные размеры, а$2*2$возможно представление гамма-матриц.

Теперь, для$3+1$пространство-время, можно было бы добавить$4th$ $2*2$гамма-матрица$\gamma^0$, который должен проверить$(\gamma^0)^2=-2 ~\mathbb Id$и {$\gamma^0, \gamma^i$}$= 0$.

Записывая явно эти уравнения для$4$компоненты$\gamma^0$, и вы обнаружите, что$\gamma^0=0$, так это вкус, которому не хватает места в$2*2$матрицы, для представления гамма-матриц в$(3+1)$размеры.

Пространство состояний спин-$1/2$частица представляет собой двумерное комплексное гильбертово пространство$\mathbb{C}^2$. Любой гамильтониан, действующий в этом пространстве состояний, обязательно является$2\times 2$матрица. Алгебра наблюдаемых на пространстве состояний спин-$1/2$частица порождается повышающим и понижающим операторами (а также$2\times 2$единичная матрица), которые, в свою очередь, порождаются операторами Паули .

Сейчас$\gamma$матрицы в уравнении Дирака могут быть записаны в терминах блочно-диагональных матриц с блоками, состоящими из операторов Паули. Подробнее см. здесь . Тогда это объясняет одновременно два факта: (1) Порядок обязательно четный. (2) Самый низкий порядок$4$.