От группы симметрии к уравнениям физики

Насколько я знаю:

Существуют группы симметрии, такие как группы вращения SO (3), группы преобразований Пуанкаре, ... Если физика системы имеет группу симметрии G, то ее можно описать представлением G и векторного пространства, на которое действует .

Поправьте меня если я ошибаюсь.

Если я не ошибаюсь, я хочу знать простейший пример того, как мы можем интерпретировать физику этой системы, изучая свойства представления G. (потому что я учился обратным путем: сначала гильбертово пространство состояний, затем группа операторов симметрии)

РЕДАКТИРОВАТЬ: я думаю, что процесс создания теории физики будет следующим:

В соответствии с определенной «физикой» существует, в частности, группа Ли (называемая G) симметрии. Затем мы можем построить каркас, представив эту группу Ли как группу линейных преобразований, действующих в векторном пространстве V.

  • Каждый элемент V будет состоянием физики.
  • Каждый элемент алгебры Ли (соответствующий G) будет наблюдаемым (это то, что я хочу знать, верно это или нет)

Затем мы можем применить такие квантовые понятия, как собственное состояние, собственное значение, распределение и т. д.

Я ошибаюсь? Если я ошибаюсь, как меня можно исправить?

(Я только что случайно прочитал о теории представлений на прошлой неделе, и я немного взволнован идеей продвижения теории из несколько простого (фундаментального) объекта как группы симметрии)

Я нашел статью, описывающую способ построения квантовой физики из группы симметрии и теории представлений:

http://www.math.columbia.edu/~woit/QM/qmbook.pdf

Ответы (1)

Вы правы, симметрии теории необходимы для нахождения правильного пространства состояний. Пространство состояний должно нести представление всех симметрий теории (хотя оно может быть и тривиальным). Например, для квантовой системы, инвариантной относительно вращения (вспомните атом водорода), тот факт, что мы должны представить группу вращения С О ( 3 ) на пространстве решений уравнения Шредингера, поскольку они, как волновые функции, являются состояниями, естественно отражается в том факте, что решения представляют собой (линейные комбинации) сферические гармоники Д м л , которые являются базисными векторами всех неприводимых представлений С О ( 3 ) , обозначенный л е Н . Если ЧАС л обозначает представление определенного л , полное пространство состояний равно ⨁ л е Н ЧАС л . Итак, вы могли бы угадать пространство состояний, взглянув только на симметрию, вместо того, чтобы решать уравнение Шёдингера! (Я пренебрег радиальной и вращательной частями выше, но, думаю, это дает общее представление)

Но теория (почти) всегда больше, чем ее симметрии. Многие теории поля имеют действие, определяющее классические уравнения движения и квантовый интеграл по траекториям, но не все . Квантовая механика (почти) всегда имеет гамильтониан, определяющий эволюцию во времени, и симметрию квантового морфизма (этот пост не имеет прямого отношения, но Урс Шрайбер рассказывает замечательную историю о том, как переход от классической к квантовой механике внутренне мотивирован теорией Ли, я думаю, это может вас заинтересовать) мало исправить, надо дать.

Ближе всего к определению всей теории только по ее симметрии подходят чисто квантовые калибровочные теории в малых измерениях, где в 2D топологическая структура пространства-времени вместе с калибровочной группой полностью фиксирует КТП и все наблюдаемые (которые не являются так много).

Я не уверен, что ответил на ваш точный вопрос, поэтому не стесняйтесь указать на это, если я пропустил отметку.

Грустно. Если бы мы могли получить теорию из исследования группы симметрии, это был бы прекрасный способ построить квантовую физику. Действительно печально.
@ACuriousMind: Как мне соответствовать идее С О ( 3 ) в качестве базисных векторов невозвратов С О ( 3 ) с его формальным определением некоторых образующих, удовлетворяющих некоторому коммутационному соотношению. Какие здесь генераторы и как в этом случае определить коммутатор? Дополнительная информация о сферических гармониках как иррепрезентациях С О ( 3 ) и некоторые ссылки будут оценены.
@ramanujan_dirac: Вы должны быть осторожны с терминологией! Образующие с их коммутационным соотношением лежат в алгебре Ли с о ( 3 ) из С О ( 3 ) . Видно, что сферические гармоники образуют иррефлексы С О ( 3 ) наблюдая, что они трансформируются при вращении только по составу, что дает, что ЧАС л является представлением группы вращений (поскольку гармоники образуют векторное пространство, а композиция линейна). То, что они являются иррепрезентациями, можно увидеть, просто заметив, что они в точности соответствуют обычным абстрактным иррепрезентациям, обозначаемым | Дж , м ⟩ .
@ramanujan_dirac: Это ЧАС л замкнут относительно вращения, следует из того, что л ( л + 1 ) является собственным значением квадрата оператора углового момента (который является квадратичным Казимиром с о ( 3 ) ) и что вращения генерируются угловыми моментами. Собственные пространства являются инвариантными пространствами, поэтому ЧАС л замыкается при вращении. Гугление находит довольно много на эту тему, но, боюсь, у меня нет конкретного источника, который я мог бы порекомендовать.
От группы симметрии к уравнениям физики
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v