След матрицы всегда представляет собой сумму ее собственных значений, что можно увидеть, если преобразует матрицу в его диагональную форму.
У нас также есть следующие требования из уравнений Дирака
Теперь, как мы можем доказать, что и матрицы 4*4? Пожалуйста, не пропускайте слишком много.
Вы не можете это доказать, потому что это неправда. Учитывая любые матрицы 4 на 4, которые удовлетворяют алгебре Дирака, вы можете сделать матрицы 8 на 8 которые равны матрицам четыре на четыре по своей верхней диагонали, а также равны тому же самому по нижней диагонали. Цель состоит в том, чтобы найти наименьшее размерное представление, наименьшие возможные матрицы. В этом глупом трюке верхние 4 компонента спинора преобразуются точно так же, как и нижние 4 компонента, а это означает, что вы можете уменьшить представление, установив равные верхние и нижние компоненты. Вы ищете неприводимое представление, что просто означает, что вы не можете этого сделать.
Чтобы понять размер матриц Дирака представления самой низкой размерности, есть хороший трюк, описанный в статье Шерка, который делает это для произвольных размеров. В евклидовой сигнатуре сделать сложные размеры из пар реальных размеров
а затем линейно объедините матрицы Дирака, как указано этим изменением координат:
Тогда алгебра с точки зрения нового матриц и их сопряженных превращается в коммутирующие фермионные повышающие и понижающие операторы. Они имеют минимальное представление, которое начинается с определения состояния который аннулируется всеми понижающими операторами, а затем воздействует повышающими операторами не более одного раза для создания состояний. Это производит различные состояния, где n — размерность, деленная на 2, и это основная отправная точка, игнорируя три досадных осложнения.
Эти состояния, создаваемые повышением и понижением, дают вам размерность спинора (игнорируя два усложнения). Эта отправная точка говорит вам, что алгебра Дирака должна быть представлена матрицами 4 на 4 в 4d, матрицами 8 на 8 в 6d, матрицами 16 на 16 в 8d, 32 на 32 в 10d. Два в степени половины размеров.
Три досадных сложности: нечетные размерности, фермионы Вейля и фермионы Майораны, каждый из которых является отдельным не очень длинным обсуждением, но вы можете видеть, насколько большими должны быть матрицы Дирака из рассуждений выше, по крайней мере приблизительно, и вы может вычислить полезные формы в 2d, 3d и 4d, просто повозившись, как это сделали Паули, Дирак, Вейль и Майорана. Обобщение теории струн на более высокие измерения — это единственный случай, когда вам нужно систематизировать его, поэтому он не обсуждается за пределами литературы по теории струн.
пользователь1504
Рон Маймон