Как найти магнитное поле, соответствующее электрическому полю?

Нельзя, нужно еще знать ток$\vec J$.

Любое векторное поле определяется первой поперечной составляющей и ее параллельной составляющей (то есть ее составляющей с ненулевым ротором и ее составляющей с ненулевым градиентом). Следовательно, зная ротор и градиент векторного поля, можно вычислить само поле. Из уравнений Максвелла II и IV имеем

$$\vec\nabla\cdot\vec B = 0 \qquad \vec\nabla \times \vec B=\epsilon\mu\frac{\partial \vec E}{\partial t}+\mu \vec J$$

Должен$\vec J=0$и плотность заряда$\rho=0$(например, вы говорите об электромагнитных волнах), это дает$\vec E=\vec B\times \vec v$. Подробности смотрите в википедии .

Магнитное поле полностью не определено. Требуется граничное условие. Простое разложение с использованием функций Грина и различных интегральных теорем показывает это:

$$\begin{align*}B(r) &= \int_V \frac{r-r'}{4\pi|r-r'|^3} \times \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial E(r')}{\partial t} \; dV' \\ &+ \oint_{\partial V} \frac{r-r'}{4\pi |r-r'|^3} B(r') \cdot dS' \\ &+ \oint_{\partial V} \frac{r-r'}{4\pi |r-r'|^3} \times [B(r') \times dS']\end{align*}$$

где$r,r'$являются векторами. Последние два интеграла соответствуют векторному полю, подчиняющемуся закону$\nabla^2 = 0$-- оно гармоническое, или, вернее, является однородным решением этого дифференциального уравнения, а первое слагаемое есть частное решение.

Если можно выбрать поверхность, на которой магнитное поле равно нулю (например, на бесконечности), то поле полностью определяется первым интегральным членом. Однако, хотя это граничное условие почти всегда подразумевается в ЭМ теории, его использование здесь делает вычисление первого интеграла очень трудным, если только не применить некоторую хитрость.

Если плотность заряда и тока везде равны нулю, то хорошо известно, что результирующие решения представляют собой ЭМ волны, для которых поля E и B полностью ортогональны, равны по величине (с точностью до множителей констант) и взаимно ортогональны направлению распространение. Думаю, именно это и имел в виду Фердинандо.