Если AµAµA^\mu не определяется однозначно уравнениями Максвелла, что произойдет, если мы решим его численно?

Question

Если AµAµA^\mu не определяется однозначно уравнениями Максвелла, что произойдет, если мы решим его численно?

Физика
детерминизм
калибровочная теория
электромагнетизм
уравнения Максвелла
граничные условия

Люк

Учитывая решение $A^{\mu}(x)$ к уравнениям Максвелла

\begin{matrix} (1) & ◻ А^{мю} (Икс) - \partial^{мю} \partial_{ν} А^{ν} "=" 0 \end{matrix}

$\begin{equation} \Box A^{\mu}(x)-\partial^{\mu}\partial_{\nu}A^{\nu}=0\tag{1} \end{equation}$ который также удовлетворяет некоторым заданным начальным условиям в момент времени

t_{0}

$t_0$

\begin{matrix} (2) & А^{мю} (\vec{Икс}, т_{0}) "=" ф^{мю} (\vec{Икс}), {\dot{А}}^{мю} (\vec{Икс}, т_{0}) "=" г^{мю} (\vec{Икс}) \end{matrix}

$\begin{equation} A^{\mu}(\vec{x},t_0)=f^{\mu}(\vec{x}),\quad \dot{A}^{\mu}(\vec{x},t_0)=g^{\mu}(\vec{x})\tag{2} \end{equation}$ у нас есть эта функция

\begin{matrix} (3) & А^{^{'} мю} (Икс) "=" А^{мю} (Икс) + \partial^{мю} α (Икс) \end{matrix}

$\begin{equation} A^{'\mu}(x)=A^{\mu}(x)+\partial^{\mu}\alpha(x)\tag{3} \end{equation}$ также удовлетворяет уравнениям движения, и если мы договоримся, что скалярная функция

α

$\alpha$ также удовлетворить, что

\begin{matrix} (4) & \partial^{мю} α (\vec{Икс}, т_{0}) "=" 0, \partial^{мю} \dot{α} (\vec{Икс}, т_{0}) "=" 0 \end{matrix}

$\begin{equation} \partial^{\mu}\alpha(\vec{x},t_0)=0,\quad \partial^{\mu}\dot{\alpha}(\vec{x},t_0)=0 \tag{4} \end{equation}$ в начальный момент

t_{0}

$t_0$ , то новое решение

A^{^{'} μ}

$A^{'\mu}$ также удовлетворяет начальным условиям. Например, функция

α (\vec{Икс}, т) "=" (т - т_{0})^{5} час (\vec{Икс}) е^{- (т - т_{0})^{2}}

$\begin{equation} \alpha(\vec{x},t)=(t-t_0)^5h(\vec{x})e^{-(t-t_0)^2} \end{equation}$ удовлетворяет условиям

(4)

$(4)$ а также исчезает в

t \to \pm \infty

$t\rightarrow \pm \infty$ . Таким образом, решение уравнения.

(1)

$(1)$ не определяется однозначно исходными данными.

(2)

$(2)$ .

Вопрос: Если смоделировать уравнение $(1)$ численно на компьютере, почему конфигурация поля в более позднее время однозначно не определяется данными в уравнении? $(2)$ ?

СлучайныйПреобразование Фурье

Попробуйте смоделировать это сами. Спойлер: у вас не получится, по крайней мере, без предварительной фиксации датчика. Численное решение УЧП требует, например, обращения матрицы/решения линейной системы. Это не работает, когда у вас есть калибровочная инвариантность, потому что матрица сингулярна.

тпаркер

@AccidentalFourierTransform Это не совсем так. Ваши числа могут или не сходятся к решению, в зависимости от алгоритма. Некоторые методы включают в себя решение линейной системы, и они потерпят неудачу, но многие методы, например, тривиально сходятся к решению

α \equiv 0

$\alpha \equiv 0$ . Проблема в неуникальности, а не в несуществовании.

СлучайныйПреобразование Фурье

@tparker Я никогда ничего не говорил о небытии. Линейная система с сингулярной матрицей имеет бесконечное число решений. Итак, мы согласны, что проблема в неуникальности, а не в несуществовании.

тпаркер

@AccidentalFourierTransform Верно. Так что ваше утверждение "вы не сможете" в целом не верно. Ваш алгоритм вполне может сходиться к одному из бесконечно многих решений.

Qмеханик

Связанный: физика.stackexchange.com /q/20071/2451

Джинави

Если кто-то моделирует уравнение (1) численно на компьютере, почему конфигурация поля в более позднее время не определяется однозначно данными в уравнении (2)? Я не думаю, что предположение верно. Даже если решение не уникально, ваш алгоритм может сходиться к конкретному решению. Возьмем обычное уравнение

x^{2} = 1

$x^ 2=1$ . Если применить метод деления пополам на интервале

[0, 2]

$[0,2]$ , вы найдете решение

x = 1

$x=1$ , хотя ты скучаешь

x = - 1

$x=-1$ . Другие методы могут не сходиться. Поэтому я думаю, что без указания конкретного численного метода ответы будут очень расплывчатыми.

Ответы (2)

Если AµAµA^\mu не определяется однозначно уравнениями Максвелла, что произойдет, если мы решим его численно?

Попробуйте смоделировать это сами. Спойлер: у вас не получится, по крайней мере, без предварительной фиксации датчика. Численное решение УЧП требует, например, обращения матрицы/решения линейной системы. Это не работает, когда у вас есть калибровочная инвариантность, потому что матрица сингулярна.
@AccidentalFourierTransform Это не совсем так. Ваши числа могут или не сходятся к решению, в зависимости от алгоритма. Некоторые методы включают в себя решение линейной системы, и они потерпят неудачу, но многие методы, например, тривиально сходятся к решению $\alpha \equiv 0$ . Проблема в неуникальности, а не в несуществовании.
@tparker Я никогда ничего не говорил о небытии. Линейная система с сингулярной матрицей имеет бесконечное число решений. Итак, мы согласны, что проблема в неуникальности, а не в несуществовании.
@AccidentalFourierTransform Верно. Так что ваше утверждение "вы не сможете" в целом не верно. Ваш алгоритм вполне может сходиться к одному из бесконечно многих решений.
Связанный: физика.stackexchange.com /q/20071/2451
Если кто-то моделирует уравнение (1) численно на компьютере, почему конфигурация поля в более позднее время не определяется однозначно данными в уравнении (2)? Я не думаю, что предположение верно. Даже если решение не уникально, ваш алгоритм может сходиться к конкретному решению. Возьмем обычное уравнение $x^ 2=1$ . Если применить метод деления пополам на интервале $[0,2]$ , вы найдете решение $x=1$ , хотя ты скучаешь $x=-1$ . Другие методы могут не сходиться. Поэтому я думаю, что без указания конкретного численного метода ответы будут очень расплывчатыми.

Ян Лалински · Answer 1

Не все задачи с начальными значениями имеют единственное решение. Ваш пример $\alpha$ показывает, что эта задача с начальными значениями относится к такому типу.

В этом случае задача заключается в системе дифференциальных уравнений в частных производных

\partial_{ν} \partial^{ν} А^{мю} - \partial^{мю} \partial_{ν} А^{ν} "=" 0

$\partial_\nu\partial^\nu A^{\mu}-\partial^{\mu}\partial_{\nu}A^{\nu}=0$ сам; он не накладывает достаточных ограничений на функции

φ (x, t), A (x, t)

$\varphi(\mathbf x,t), \mathbf A(\mathbf x,t)$ . Это чем-то похоже на ситуацию в линейной алгебре, которая иногда возникает, когда система

n

$n$ линейные уравнения для

n

$n$ неизвестных имеет бесконечность решений.

Немного другой способ увидеть это: обратите внимание, что нигде в приведенной выше системе УЧП мы не можем найти $\partial_t^2 A^0$ или $\partial_t A^0$ напрямую; только пространственный градиент $\partial_t A^0$ настоящее. Уравнения для $A^i$ не связывают их напрямую с производными по времени от $\varphi$ .

Это означает, что если у нас есть решение задачи о начальных значениях $\varphi(x,t),\mathbf A(x,t)$ и заменим скалярный потенциал на $\varphi' = \varphi(x,t)+ht^2$ вовремя $t = 0$ (где $h$ является константой), уравнения по-прежнему выполняются и при $t=0$ , начальные условия также выполняются. Это было бы не так очевидно возможно, если бы система содержала непосредственно производные по времени от $\varphi$ . Рассмотрим немного другую систему

\partial_{ν} \partial^{ν} А^{мю} "=" 0,

$\partial_\nu\partial^\nu A^{\mu}= 0,$ (что в теории ЭМ может быть получено в результате выбора калибровки Лоренца) - это ограничивает

\partial_{t}^{2} φ

$\partial_t^2 \varphi$ , поэтому приведенный выше аргумент не работает. Я думаю, что эта система должна иметь единственное решение, потому что она очень похожа на систему уравнений для независимых гармонических осцилляторов. Однако для доказательства лучше обратиться к математикам.

тпаркер · Answer 2

тпаркер

Вы просите физического или математического объяснения? Ответ Дэна Янда дает физическое объяснение.

Относительно математического вопроса: на каком основании вы ожидаете, что конфигурация поля будет однозначно определяться его начальными данными? В отличие от (несвязанных) ОДУ, теоремы на этот счет для общих линейных однородных УЧП второго порядка не существует.

СлучайныйПреобразование Фурье

Проблема не в PDE против ODE. Существуют системы точечных частиц с калибровочной симметрией, временная эволюция которых не фиксируется однозначно уравнениями движения. И наоборот: существуют полевые системы, временная эволюция которых однозначно фиксируется уравнениями движения (скажем, уравнением теплоты/Шрёдингера). Речь идет об обратимости дифференциального оператора, экв. о существовании единственной функции Грина. Препятствия могут появиться независимо от того, является система одномерной или нет.

СлучайныйПреобразование Фурье

Лагранжиан вида

L (q_{1}, q_{2}) = f (q_{1} - q_{2})

$L(q_1,q_2)=f(q_1-q_2)$ , для произвольного

f

$f$ , инвариантен относительно

q_{i} (t) \to q_{i} (t) + η (t)

$q_i(t)\to q_i(t)+\eta(t)$ . Система имеет калибровочную симметрию. Я оставляю это вам, чтобы выбрать некоторые конкретные

f

$f$ и вычислить Эйлера-Лагранжа. Вы получаете два избыточных уравнения движения, так что только одно независимое уравнение для двух степеней свободы. Нет уникального решения. И т. д. (И если мы будем просто цитировать ссылки, позвольте мне процитировать Хенно, Тейтельбойма «Квантование калибровочных систем», это книга о точечных частицах, а не о полях).

тпаркер

@AccidentalFourierTransform К сожалению, вы правы. Я имел в виду, что функция

R \to R

$\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ не может быть свободы калибровки, но вы можете обойти это, добавив дополнительные переменные на обоих концах стрелки. Отредактировано для уточнения.

СлучайныйПреобразование Фурье

Система с одной степенью свободы, если она обладает калибровочной симметрией, вообще не имеет эффективных степеней свободы. Таким образом, его динамика является чисто топологической и/или обусловлена ограничениями. Например, релятивистская точечная частица в формализме, инвариантном к репараметризации, имеет калибровочную симметрию, и она по-прежнему

R \to R

$\mathbb R\to\mathbb R$ .

тпаркер

@AccidentalFourierTransform Я бы описал точечную частицу (релятивистскую или нет) с траекторией

(t (τ), x (τ))

$(t(\tau), x(\tau))$ как описывается функцией

R \to R^{2}

$\mathbb{R} \to \mathbb{R}^2$ , нет

R \to R

$\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ .

тпаркер

Выразив траекторию как

x (t)

$x(t)$ эффективно фиксирует калибр и тратит свободу калибра.

Джинави

Как вы думаете, что произойдет, если вы подставите уравнение в числовой интегратор? Я предполагаю, что решение может зависеть от размера шага. Но, возможно, какой-то интегратор всегда дает одно и то же решение. Или они никогда не сойдутся?

тпаркер

@jinawee Это просто общий вопрос о том, что произойдет, если вы попытаетесь численно интегрировать PDE с бесконечным количеством решений. Как вы сказали, я думаю, что может произойти много разных вещей, в зависимости от вашего алгоритма, включая все возможности, которые вы упомянули. Но поскольку начальные условия тождественно равны нулю, я подозреваю, что большинство методов просто тривиально сходятся к решению

α \equiv 0

$\alpha \equiv 0$ .

Хиральная аномалия

@tparker Я удалил свой ответ. (ОП подтвердил, что он не касался вопроса, и после просмотра я вижу, что AFT был прав. Вопрос был ясен, и я просто не понял его сначала, потому что... ну, никаких оправданий.) Просто хотел сообщить вам, если вы захотите отредактировать свой ответ, чтобы удалить ссылку на мой теперь удаленный ответ.

Если AµAµA^\mu не определяется однозначно уравнениями Максвелла, что произойдет, если мы решим его численно?

Люк

СлучайныйПреобразование Фурье

тпаркер

СлучайныйПреобразование Фурье

тпаркер

Qмеханик

Джинави

Ответы (2)

Ян Лалински

тпаркер

СлучайныйПреобразование Фурье

СлучайныйПреобразование Фурье

тпаркер

СлучайныйПреобразование Фурье

тпаркер

тпаркер

Джинави

тпаркер

Хиральная аномалия

Однородные уравнения Максвелла на языке дифференциальных форм

Справедливость закона Ампера с точки зрения HHH

Граничные условия для уравнений Максвелла на границе раздела двух сред

Отсутствующая гипотеза в текстах по электромагнетизму

Каковы граничные условия для электромагнитных волн, нормально падающих на границу раздела двух диэлектрических сред?

Почему мы используем датчики в уравнении Максвелла?

Зачем нам нужно второе уравнение для электрического поля в уравнении Максвелла?

Как найти магнитное поле, соответствующее электрическому полю?

Как можно рассматривать теорию Максвелла с точки зрения двухслойной структуры?

Почему в электромагнетизме только калибровочные преобразования?