Как найти связь Хиггса с матрицей смешения?

Известно, что связи с Хиггсом пропорциональны массе фермионов;

$$g_{hff}=\frac{M_f}{v}$$ где $v$является VEV поля Хиггса. Я пытаюсь понять, почему это так, без явного построения всех условий взаимодействия .

Во-первых, я могу сказать, что лагранжиан, будучи безмассовым, требует поля Хиггса.$\vec{\phi}=\left( \begin{array}{c} \phi^1\\ \phi^2\\ \end{array} \right)$(слабый дублет), который добавляет фермионам часть, нарушающую симметрию, и связь.

Связь пропорциональна

$$g(\bar{\psi}_L\vec{\phi}\psi_R+\bar{\psi}_R\phi^\dagger\psi_L)$$ где $\psi_L$это слабый дублет $\psi_R$слабый синглет.

Итак, после нарушения симметрии мы можем записать поле Хиггса как$\vec{\phi}=\left( \begin{array}{c} 0\\ v+h(x)\\ \end{array} \right)$из-за местных$SU(2)_W$симметрия. Поэтому сцепление становится

$$gv(\bar{\psi}^{(2)}_L\psi_R+\bar{\psi}_R\psi^{(2)}_L)+gh(\bar{\psi}^{(2)}_L\psi_R+\bar{\psi}_R\psi^{(2)}_L)$$ где $(2)$экспонента указывает компонент в дублете. Затем мы можем переписать поля как поля Дирака: $\psi=\psi^{(2)}_L+\psi_R$который дает $$gv\bar{\psi}\psi+gh\bar{\psi}\psi$$

Из чего мы идентифицируем массу фермионного поля как$M_f=gv$что означает, что связь с бозоном Хиггса есть

$$g_{hff}=\frac{M_f}{v}$$

Конечно, я рассматривал только одно семейство фермионов, поэтому мой вопрос: как мне обобщить аргумент, когда связь включает смешивание семейств?

$$g(\bar{L}\vec{\phi}\Lambda R+\bar{R}\Lambda^\dagger\vec{\phi}^\dagger L)$$ где $\Lambda$является семейной матрицей смешивания. Это прямо из диагонализации матрицы смешивания?