Как найти угловую и линейную скорость двумерного тела, которое распадается на два тела?

Я пишу это, предполагая, что вы говорите о чем-то вроде диска, который трескается, и его части двигаются, не взаимодействуя друг с другом.

Вам необходимо экономить энергию:

$m_0v_0^2 = m_1v_1^2 + m_2v_2^2$

$I_0w_0^2 = I_1w_1^2 + I_2w_2^2$

где$v_0$,$v_1$, и$v_2$- величины скоростей$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$

Вам также необходимо сохранить линейный и угловой момент:

$m_0\mathbf{v_0} = m_1\mathbf{v_1} + m_2\mathbf{v_2}$

$I_0\mathbf{w_0} = I_1\mathbf{w_1} + I_2\mathbf{w_2}$

или

$m_0v_{0_x} = m_1v_{1_x} + m_1v_{1_x}$

$m_0v_{0_y} = m_1v_{1_y} + m_1v_{1_y}$

$I_0w_{0_z} = I_1w_{1_z} + I_2w_{2_z}$

Теперь самое сложное — понять механизм разделения системы. Если вы начнете крутить камень на веревке длиной$r$, и струна порвется, камень будет отброшен в направлении его тангенциальной скорости$v = rw$в тот же миг порвалась струна. К этому вы добавляете исходную скорость системы. Вы можете применить это и к своему телу, используя систему центра масс, которую вы нам предоставили:

$\mathbf{v_1} = \mathbf{r_1}\times\mathbf{w_0} + \mathbf{v_0}$

$\mathbf{v_2} = \mathbf{r_2}\times\mathbf{w_0} + \mathbf{v_0}$

Поскольку система находится в 2D, измерение z просто действует, чтобы получить нам перпендикулярное произведение и определить вращение по часовой стрелке и против часовой стрелки с отрицательными и положительными знаками соответственно.$\mathbf{r_1}$и$\mathbf{r_2}$всегда должны быть коллинеарными и указывать в противоположных направлениях. Вы можете разбить их, чтобы получить:

$v_{1_x} = r_{1_x}w_0 + v_{0_x}$

$v_{1_y} = -r_{1_y}w_0 + v_{0_y}$

$v_{2_x} = r_{2_x}w_0 + v_{0_x}$

$v_{2_y} = -r_{2_y}w_0 + v_{0_y}$

Важно отметить, что компоненты xy в моей разработке являются общими и не учитывают$\mathbf{r_1}$и$\mathbf{r_2}$быть коллинеарным и противоположным. Это будет учитываться с ВАШИМИ начальными условиями.

Давайте решим эту проблему, рассмотрев обращенный во времени процесс: два вращающихся объекта неупруго сталкиваются. Мы знаем, что линейный и угловой момент сохраняются:

Последнее также можно записать (при условии, что у вас есть моменты инерции) как:

Отношение между$\vec{\omega}$и$\vec{v}$является$\vec{v}= \vec{r}\times\vec{\omega}$, где$\vec{r}$от оси (или точки) вращения. Итак, у вас есть система из 6 уравнений с 6 (связанными) неизвестными (каждый вектор имеет три компонента). Я лично решил бы это, написав уравнения с точки зрения компонентов неизвестных векторов и решив с помощью численного алгоритма (или Mathematica).

Поскольку предполагается (так предполагается, верно?) неразрушенный диск имеет однородную плотность, его центр масс находится в геометрическом центре диска. Тогда, поскольку центр масс двух различных масс лежит на линии, соединяющей их, центры масс двух осколков должны лежать на диаметре диска. Мало того, если радиальное расстояние ЦМ$B_1$является$r_1$, а радиальное расстояние$B_2$является$r_2$, то так как$m_1$$r_1$"="$m_2$$r_2$,$r_1$/$r_2$"="$m_2$/$m_1$. Однако, не зная геометрии хотя бы одного из фрагментов, невозможно определить значения$r_1$и$r_2$. Предполагая, что вы знаете их, остальное становится легко. Два фрагмента можно рассматривать как точечные массы, связанные бесконечно малой нитью, вращающейся со скоростью$\omega_0$вокруг общего центра масс. Поскольку ориентация двух фрагментов фиксирована, каждый фрагмент вращается вокруг своего собственного центра масс в$\omega_0$. Каждый фрагмент имеет тангенциальную скорость, пропорциональную его радиальному расстоянию от общей ЦМ, поэтому$v_1$"="$\omega_0$$r_0$/$r_1$, и$v_2$"="$\omega_0$$r_0$/$r_2$. Направление, разумеется, определяется углом линии, соединяющей два ЦМ в момент выпуска. Кроме того, поскольку во время выпуска нет взаимодействия между двумя фрагментами, каждый из них будет поддерживать скорость вращения.$\omega_0$вокруг его центра масс.