Зависит ли конденсация Бозе-Эйнштейна от граничных условий?

В коробке со сторонами длины л , собственные значения энергии зависят от граничных условий. Для периодических граничных условий они равны

(1) Е н Икс , н у , н г "=" ℏ 2 2 м ( 2 π л ) 2 ( н Икс 2 + н у 2 + н г 2 )
где ( н Икс , н у , н г ) являются целыми числами, но для отражения граничных условий они
(2) Е н Икс , н у , н г "=" ℏ 2 2 м ( π л ) 2 ( н Икс 2 + н у 2 + н г 2 )
где ( н Икс , н у , н г ) являются положительными целыми числами. В большинстве случаев это не имеет значения, поскольку они оба дают одинаковую плотность состояний. Однако в конденсате Бозе-Эйнштейна, где макроскопическое число частиц находится в основном состоянии, это, по-видимому, имеет значение.

Например, в ( 1 ) , основное состояние Е 0 , 0 , 0 "=" 0 , тогда как в ( 2 ) это Е 1 , 1 , 1 "=" 3 ℏ 2 π 2 2 м л 2 . Это просто произвольный энергетический сдвиг. Где возникает разница, так это в энергетической щели до первого возбужденного состояния. Для ( 1 ) , Это Е 1 , 0 , 0 − Е 0 , 0 , 0 "=" 2 ℏ 2 π 2 м л 2 , но для ( 2 ) это Е 2 , 1 , 1 − Е 1 , 1 , 1 "=" 3 ℏ 2 π 2 2 м л 2 . Следовательно, согласно статистике Бозе-Эйнштейна, два идентичных газа должны иметь различное соотношение частиц в первом возбужденном состоянии. Как это согласуется?

Изменить: вывести ( 1 ) , вы предполагаете волновую функцию (для ящика с центром в начале координат) ψ ( р ) "=" 1 л 3 е я к ⋅ р и наложить периодические граничные условия, например ψ ( л / 2 , у , г ) "=" ψ ( − л / 2 , у , г ) . Чтобы вывести ( 2 ) , вы используете трехмерную волновую функцию прямоугольной ямы (теперь с углом в начале координат) ψ ( р ) "=" ( 2 л ) 3 / 2 грех ⁡ ( к Икс Икс ) грех ⁡ ( к у у ) грех ⁡ ( к г г ) и установить, что он должен быть нулевым на стенах.

Почему должно быть возможно примирить две разные ситуации?
Обычно говорят, что граничные условия не влияют на окончательный ответ, поэтому я подумал, что и здесь должно быть так.
Обычно это верно только при увеличении размера системы до бесконечности. Для конечных систем границы имеют значение.
Для других газов (классических или фермиевских) граничные условия не имеют значения даже для системы конечных размеров. Являются ли BEC просто особым случаем, когда это не работает?
Я был бы удивлен, если бы граничные условия не имели значения для конечного размера системы. У вас есть ссылка на это? Например, в обсуждаемом вами примере энергетический спектр явно отличается. Это будет иметь какие-то последствия.
В «Концепциях теплофизики» Бланделла и Бланделла они выводят плотность состояний, используя как периодические, так и отражающие граничные условия, и показывают, что они одинаковы. Использование плотности состояний, конечно, требует соблюдения континуального приближения, но это имеет место почти для всех газов, кроме БЭК. Они никогда не говорят о том, чтобы взять предел бесконечного размера.
Но плотность состояний хорошо определена только в пределе бесконечной системы. В противном случае это не гладкая функция, а последовательность дельта-пиков, которые зависят от граничных условий! Книги могут быть небрежны с этими концепциями и, например, упоминать такие предположения лишь вскользь.
Я хочу сказать, что «бесконечный размер» почти всегда удовлетворяется, за исключением BEC.
Что ты имеешь в виду? Будет ли удовлетворен «бесконечный размер», зависит от ситуации, которую вы хотите изучить. Если вы хотите изучить очень большую систему, то она подойдет. Если вы хотите изучить формирование БЭК в очень большой системе, вы должны принять соответствующий предел, иначе нет.
Я думаю, что это моя вина, что я слишком буквально истолковал «бесконечный размер», поэтому я спорил, когда мы на самом деле согласны. Итак, вы говорите, что «бесконечный размер не подходит для BEC, поэтому результат зависит от граничных условий»? В таком случае, если вы напишете ответ, я его приму.
Как получаются уравнения 1 и 2?
Я добавил объяснение того, откуда берутся уравнения.

Ответы (1)

Зависит ли конденсация Бозе-Эйнштейна от граничных условий?

Нет.

Это можно строго показать в работе Л. Дж. Ландау и И. Ф. Уайльда « О конденсации Бозе-Эйнштейна идеального газа » (1979).

Доказательство заключается в вычислении летучести г "=" е β мю (называемой в статье активностью ) и показывая, что она проявляет неаналитическое поведение при некоторых Т "=" Т с независимо от конкретных граничных условий. Среди прочего, они рассматривают периодические граничные условия и отражающие стены, последнее, как я предполагаю, это то, что вы подразумеваете под «отражающими» граничными условиями. Неаналитическое поведение термодинамических величин в термодинамическом пределе является признаком фазового перехода.

Таким образом, все, что имеет значение, — это геометрия системы, в данном случае это свободный бозе-газ, заключенный в кубический ящик со стороной л . В 3D. (Известно, что бесплатные системы для г < 2 не проявляют БЭК из-за теоремы Мермина-Вагнера).

Физический комментарий

Я не думаю, что удивительно, что БЭК не зависит от граничного условия. Периодические или отражательные граничные условия обычно используются для динамических систем, таких как электроны в объеме кристаллического материала, для изучения транспортных свойств. БЭК — это явление равновесия , поэтому геометрия системы (например, ящик или гармонический потенциал) определяет физику равновесия.

Ваши уравнения

Чтобы напрямую обратиться к вашему предполагаемому несоответствию с плотностью состояний и энергетической щелью, я хотел бы увидеть выводы ваших двух уравнений.

Ответ на редактирование

Спасибо. Да, оглядываясь назад, ваши выводы были очевидны, извините. Я просто не был уверен, что вы имели в виду под «отражающими» граничными условиями, но я думаю, вы имеете в виду «отталкивающие стены» и, следовательно, просто обычную ловушку.

В любом случае, я только начал развивать математику, основанную на нахождении критической температуры. Т с по обычному уравнению

Н е Икс с я т е г с т а т е с "=" ∑ я е а л л б ты т г р о ты н г с т а т е 1 е Е я / ( к Т с ) − 1
и используя Е я в ваших двух случаях, когда я нашел бумагу, где они уже это сделали.

Они никогда не публиковали его, поэтому, возможно, он не прошел рецензирование, поэтому будьте осторожны с тем, что они говорят. Но это называется « Эффекты конечного размера с граничными условиями для конденсации Бозе-Эйнштейна », и они показывают, что различные граничные условия вызывают сдвиг в Т с , который, однако, становится незначительным и несуществующим при увеличении размера системы. л → ∞ .

Конечный размер или нет

Я должен добавить, что для реального фазового перехода и, следовательно, реального БЭК, вам нужно довести размер системы до бесконечности или, лучше, достичь термодинамического предела. Н / В → ∞ , где Н число частиц и В объем.

В конечной системе интеграл становится суммой, и вы можете определить критическое число частиц, что даст вам (квази)конденсат даже в ситуациях, например, в двумерном пространстве, где он не может существовать . Но этот «конденсат» не выдержал бы термодинамического предела, и поэтому он не является реальной фазой в статистическом механическом смысле.

Я добавил раздел, объясняющий, откуда взялись мои уравнения, если вы хотите попытаться объяснить несоответствие.
@AlexGhorbal Отредактировал ответ, чтобы решить эту проблему.
Зависит ли конденсация Бозе-Эйнштейна от граничных условий?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v