Как определить адронные относительные парциальные ширины распадов?

Этот результат следует из предположения о совершенном$SU(3)_{flavour}$симметрия и правило ОЗИ . Теория не очень тяжелая, но есть несколько шагов.

Мы начинаем с$SU(3)_{flavour}$симметрия, т.е. предположение, что сильное взаимодействие безразлично к вкусу света$u$,$d$, и$s$кварки. Эта симметрия на самом деле нарушается из-за разных масс и зарядов кварков, но обычно это неплохое приближение. (Вот почему восьмеричный подход так хорошо работал при объяснении состояний мезонов, наблюдавшихся в 1960-х годах и приведших к развитию кварковой модели .)

Следуя «идеально смешанному» уравнению 11 из лекции Кертиса Мейера о легких и экзотических мезонах , мы начнем с написания уравнения$n \bar n$заявить как

$$n \bar n =\frac{1}{\sqrt{2}} (u\bar u + d\bar d) = \sqrt{\frac{1}{3}}f_8 + \sqrt{\frac{2}{3}}f_1$$ в терминах двух изоскалярных $SU(3)_{flavour}$состояния

$$f_8=\frac{1}{\sqrt{6}}\left(u\bar u + d \bar d - 2 s \bar s\right) \textrm{ and } f_1=\frac{1}{\sqrt{3}}\left(u\bar u + d \bar d + s \bar s\right)$$

Амплитуды распада на пионы и каоны равны

$$\gamma(n \bar n \rightarrow \pi\pi) = \sqrt{\frac{1}{3}}\gamma (f_8\rightarrow \pi\pi) + \sqrt{\frac{2}{3}}\gamma(f_1 \rightarrow \pi\pi) = \sqrt{\frac{1}{3}} C_{f_8\rightarrow \pi\pi} g_T + \sqrt{\frac{2}{3}}C_{f_1\rightarrow \pi\pi})g_1$$ $$\gamma(n \bar n \rightarrow K\bar{K}) = \sqrt{\frac{1}{3}} C_{f_8\rightarrow K\bar{K}} g_T + \sqrt{\frac{2}{3}}C_{f_1\rightarrow K\bar{K}}g_1$$ куда $g_T$и $g_1$– константы связи, а $C$находятся$SU(3)$Коэффициенты Клебша – Гордана, определяемые гиперзарядом $Y$и изоспин $I$начального и конечного состояний.

Поскольку каоны и пионы являются членами$SU(3)$октет и$n \bar n$государство имеет$(Y,I)=(0,0)$, за$n \bar n$распадается на$\pi\pi$или$K\bar{K}$мы должны посмотреть на$(Y,I)=(0,0)$списки$\mathbf{8}\bigoplus\mathbf{8}$Коэффициенты Клебша-Гордана в таком источнике, как Таблица 8.4 Унитарной симметрии и элементарных частиц Д. Б. Лихтенберга (или мы могли бы просто посмотреть внизу страницы 9 Мейера). Поскольку пионы, каоны и антикаоны имеют$(Y,I)=(0,1)$,$(1,\frac{1}{2})$и$(-1,\frac{1}{2})$, мы находим, что

$$C_{f_8\rightarrow \pi\pi} = -\frac{\sqrt{15}}{5} = -\sqrt{\frac{12}{20}} \textrm{ and } C_{f_1\rightarrow \pi\pi} = \frac{\sqrt{6}}{4} = \sqrt{\frac{3}{8}}$$ $$C_{f_8\rightarrow K\bar{K}} = \frac{\sqrt{10}}{10} = \sqrt{\frac{2}{20}} \textrm{ and } C_{f_1\rightarrow K\bar{K}} = \frac{1}{2} = \sqrt{\frac{2}{8}}$$ $$C_{f_8\rightarrow \bar K K} = -\frac{\sqrt{10}}{10} = -\sqrt{\frac{2}{20}} \textrm{ and } C_{f_1\rightarrow \bar K K} = -\frac{1}{2} = -\sqrt{\frac{2}{8}}$$ (Обратите внимание, что все $\pi\pi$штаты входят в $(I_1,Y_1;I_2,Y_2) = (1,0;1,0)$строку в таблице Клебша-Гордана, но $K\bar K$и $\bar K K$находятся в разных $(\frac{1}{2},1; \frac{1}{2},-1)$и $(\frac{1}{2},-1; \frac{1}{2},1)$строки, поэтому мы должны вычислить их отдельно. Это не очевидно из вывода Мейера, где $K\bar{K}$амплитуды в нижней части страницы 12 в 2 раза несовместимы с $K\bar{K}$ставки показаны на его рис. 4.)

Подставив эти значения для коэффициентов в$n \bar n$амплитуды затухания имеем:

$$\gamma(n \bar n \rightarrow \pi\pi) = -\sqrt{\frac{1}{3}} \sqrt{\frac{12}{20}} g_T + \sqrt{\frac{2}{3}}\sqrt{\frac{3}{8}}g_1 = -\sqrt{\frac{1}{5}} g_T + \frac{1}{2}g_1$$ $$\gamma(n \bar n \rightarrow K\bar{K}) = \sqrt{\frac{1}{3}} \sqrt{\frac{2}{20}} g_T + \sqrt{\frac{2}{3}}\frac{1}{2}g_1 = \sqrt{\frac{1}{30}} g_T + \sqrt{\frac{1}{6}}g_1$$ $$\gamma(n \bar n \rightarrow \bar K K) = -\sqrt{\frac{1}{30}} g_T - \sqrt{\frac{1}{6}}g_1$$ (Первые два из них - это просто уравнения Мейера 21 и 22 для идеального угла смешения.)

Для того, чтобы выяснить связь между$g_T$и$g_1$, рассмотрим амплитуду затухания

$$s\bar{s} = \sqrt{\frac{2}{3}}f_8 - \sqrt{\frac{1}{3}}f_1$$ состояние в пионы, т.е. $$\gamma(s\bar{s}\rightarrow \pi\pi) = \sqrt{\frac{2}{3}} C_{f_8\rightarrow \pi\pi} g_T - \sqrt{\frac{1}{3}}C_{f_1\rightarrow \pi\pi}g_1 =-\sqrt{\frac{2}{5}} g_T - \sqrt{\frac{1}{8}}g_1.$$ Этот распад может произойти только в том случае, если $s\bar{s}$кварки аннигилируют друг с другом, что подавляется согласно правилу ОЗИ . Скорость равна нулю при условии полного подавления ОЗИ, и в этом случае $$\sqrt{\frac{2}{5}} g_T = -\sqrt{\frac{1}{8}}g_1 \qquad \Longrightarrow \qquad g_1=-\sqrt{\frac{16}{5}} g_T$$

Отсюда мы можем рассчитать$n\bar n$скорость распада:

$$\gamma^2(n \bar n \rightarrow \pi\pi) = \left(-\sqrt{\frac{1}{5}} g_T - \frac{1}{2}\sqrt{\frac{16}{5}} g_T\right)^2 = \frac{9}{5} g_T^2$$ $$\gamma^2(n \bar n \rightarrow K\bar{K}) = \left(\sqrt{\frac{1}{30}} g_T - \sqrt{\frac{1}{6}}\sqrt{\frac{16}{5}} g_T\right)^2 = \frac{9}{30} g_T^2$$ $$\gamma^2(n \bar n \rightarrow \bar K K ) = \frac{9}{30} g_T^2$$

Наконец, отношение$n \bar{n}$распадается на два пиона или каона.

$$\frac{\gamma^2(n \bar n \rightarrow \pi\pi)}{\gamma^2(n \bar n \rightarrow K \bar{K} )+\gamma^2(n \bar n \rightarrow \bar K K )} = \frac{\frac{9}{5} g_T^2}{2\frac{9}{30} g_T^2}=3$$ т.е. значение, указанное Амслером и Клоузом .