Вывод соотношения Гелл-Манна-Окубо для мезонов

В SU(3)-кварковой модели адронной структуры предполагается, что расщепление масс между адронами связано с различием масс с кварк и ты , г . Это моделируется гамильтонианом возмущения

дельта ЧАС "=" м с − м 3 ( 1 − 3 Д ) ,
где м это масса ты , г и Д является гиперзарядом. В частности, в фундаментальном представлении в базисе ты , г , с эта матрица имеет вид
дельта ЧАС "=" г я а г ( 0 , 0 , м с − м ) .
В собственном базисе гиперзаряда сразу получаются ожидаемые значения этого оператора и из них поправки к энергии первого порядка по теории возмущений. Это дает правильные формулы для мультиплетов барионов: различия в массах примерно пропорциональны различиям в гиперзаряде,
М "=" а + б Д ,
с а , б некоторые константы. Однако в конспектах лекций по физике элементарных частиц я видел, что для мезонов используется другой подход. Мой учитель использует тот факт, что Д является восьмым элементом ( 1 , 1 ) неприводимое представление SU (3), а затем утверждает, что использовал коэффициенты Клебша-Гордана для SU (3), чтобы получить следующую формулу:
М "=" а ′ + б ′ Д + с ′ ( я ( я + 1 ) − 1 4 Д 2 ) ,
с а ′ , б ′ , с ′ некоторые константы. Из этого предположения, что б ′ "=" 0 поскольку масса одинакова для пар частица-античастица, довольно легко получить знаменитое соотношение Гелл-Манна-Окубо (на самом деле оно получается для масс, а не для их квадратов, но оно ближе к истине, если мы складываем квадраты вручную)
4 М К 2 "=" М π 2 + 3 М η 2 .
Я не понимаю, почему в этом случае мы не можем просто явно оценить Д оператора, чтобы получить обычное соотношение, справедливое для барионов. В Perkins написано, что это отношение ГМО является эмпирическим, а не полученным из модели SU (3). Как я должен это понимать?

Решающий факт: рассматриваемые вами мезоны — это не просто мезоны, это псевдоскалярные мезоны, голдстоны с нарушенной киральной симметрией. В результате они подчиняются формуле Дашена, а их квадраты пропорциональны (текущим) массам кварков — суть нарушения киральной симметрии. Формула GM-O — это всего лишь полувековой эмпирический способ работы с аддитивными массами кварков, сначала составляющими, а затем текущими (поскольку s они не так уж далеко друг от друга). формула, раздел 5.5 Cheng & Li.

Ответы (1)

Это хороший вопрос, который некоторое время озадачивал теоретиков, пока не прояснилось современное понимание нарушения киральной симметрии в КХД. Важно отметить, что квадратичная формула, которую вы цитируете, действительна и необходима только для псевдоскалярных мезонов — аномально легких псевдоголдстоуновских бозонов со спонтанно нарушенной киральной симметрией. Напротив, если вы попытаетесь вычислить формулу для октета векторного мезона, вместо этого, т. е. ρ (775), ω (783), φ (1020), с ω - φ , подходящим образом несмешанным, чтобы убрать синглет, и K*(896) s, линейная формула была бы довольно хорошей, так как ρ не наказывал бы вас так сильно, как π !

Полное теоретическое объяснение содержится в формуле Дашена для масс псевдоголдстоуновских бозонов, и она аккуратно изложена в разделе 5.5 изящной книги Т.П. Ченга и Л.Ф. Ли. Если вы жадны до деталей, вы можете выбрать книгу С. Вайнберга (1996) « Квантовая теория полей» (v2. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-55002-4. стр. 225–231).

Основная идея формулы Дашена (часто также называемой Гелл-Манн-Оукс-Реннер (1968) doi:10.1103/PhysRev.175.2195 в небрежной стенографии киральной теории возмущений. Это смешивание токового тождества алгебры Уорда с PCAC , м π 2 ф π 2 "=" − ⟨ 0 | [ Вопрос 5 , [ Вопрос 5 , ЧАС ] ] | 0 ⟩ ) заключается в том, что квадрат массы псевдоглодстонового бозона пропорционален явной разрушающей части эффективного лагранжиана, здесь линейного по массам кварков, как вы указали.

То есть, например, наивно, масса пиона, которая должна была быть нулевой для безмассовых кварков, теперь набирает малое значение м π 2 ∼ м д Λ 3 / ф π 2 , где м д - соответствующая масса легкого кварка в лагранжиане КХД реального мира, который явно нарушает киральную симметрию; ф π – константа спонтанно нарушенной киральной симметрии, около 100 МэВ; и Λ значение фермионного конденсата ~ 250 МэВ. То есть квадрат массы псевдоголдстона есть коэффициент второй производной эффективного лагранжиана (он вытягивает из кирального вакуума две степени голдстона с силой ф π 2 ) и, таким образом, коммутатор лагранжиана КХД относительно двух киральных зарядов. Обычно это было бы равно нулю, но если есть небольшой член массы кварка, он зацепится, поэтому вы получите член массы кварка, если билинейно кварк умножить на массу кварка, причем vev билинейного выражения составляет Λ в кубе.

Формула GM-O служила для объяснения разрыва аромата SU (3) полвека назад с точки зрения «доминирования октетов» (код для сильного гиперзаряда Y ), фактически вашего оператора δH с удаленным тривиальным тождественным термином, до того, как были изобретены кварки. , и, что более важно, воспринимается серьезно. (Был странный перерыв почти в десятилетие, когда все думали в категориях кварков, но признавать это считалось странным! Но Джордж Цвейг не боялся.) С появлением кварков, калибровочной теорией решетки оценки нарушения киральной симметрии и, наконец, киральной теории возмущений такие абстрактные формулы стали излишне неясными, громоздкими и «магическими», и в основном старожилы и историки науки тратят на них время. Калькуляторы просто считают сейчас.

Кажется, мне нужно много изучить QFT, прежде чем я смогу переварить этот ответ, но, по крайней мере, он указывает мне правильное направление. Спасибо!
Действительно, взаимодействие между спонтанным и явным нарушением киральной симметрии — одна из самых прекрасных глав КТП... Книга Ченга и Ли хороша и лаконична. Чтобы выполнить упражнение с векторным мезоном, просто замените K ⟼ K*, π ⟼ ρ, η ⟼ (ω+φ)/2... и используйте линейную формулу... она хорошо работает.
нет ничего более сильного, чем сила (само)убеждения
... за исключением, возможно, самовознаграждающего, скрытого в заявлениях Сивиллы?
Вывод соотношения Гелл-Манна-Окубо для мезонов
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v