Как определить коэффициент kkk в dTdt=−k(T−100∘C)dTdt=−k(T−100∘C) \dfrac{dT}{dt} = -k(T - 100 \mathrm{^\ круг С}) ?

Соответствующий закон - сохранение энергии.

$$\text{change in thermal energy of the water} = \text{energy put in} -\text{energy lost to air}$$

Примените закон охлаждения Ньютона, чтобы записать энергию, теряемую воздухом. Поступление энергии от глаза постоянно. Тогда изменение энергии воды — это вопрос обозначений, которые я ввожу.

$$\frac{ d Q}{dt} = \dot{Q} = \dot{W} - A h \left( T(t) - T_{air} \right)$$

Также обратите внимание, что из определения удельной теплоемкости энергия в горшке равна$Q = C_p m T$, что игнорирует любое смещение, что не является проблемой, поскольку все температуры могут быть относительными.

$$\frac{ d Q}{dt} = \frac{ dT}{dt} m C_p = \dot{W} + A h T_{air} - A h T(t)$$

$$\frac{ dT}{dt} = \frac{\dot{W}}{m C_p} + \frac{ A h }{ m C_p} T_{air} - \frac{ A h }{m C_p} T(t)$$

Это форма, которую я хотел, чтобы я мог заменить в вашем$\beta$.

$$\frac{ dT}{dt} = \frac{\dot{W}}{m C_p} + \beta T_{air} - \beta T(t)$$

Замена, которую я только что сделал, определяет$\beta$. По единицам вы можете описать это более подробно. Но вкратце,$h$- удельный коэффициент теплопередачи по площади.

Чтобы провести полезные эксперименты, давайте посмотрим на стационарное решение этого уравнения.

$$\beta T(\infty) = \frac{\dot{W}}{m C_p} + \beta T_{air}$$

Я предполагаю, что у вас есть прямое измерение температуры воздуха, а также горшка. Это оставляет нас с двумя неизвестными. мы не знаем$\beta$, и я не согласен, что вы знаете$\dot{W}$. Я вынужден относиться к этому как к неизвестному. На самом деле, я бы ввел еще одну переменную$\alpha =\frac{\dot{W}}{m C_p}$.

$$\beta T(\infty) = \alpha + \beta T_{air}$$

$$T(\infty) = \frac{ \alpha }{ \beta} + T_{air}$$

Хотя мы не знаем$\alpha$, я мог бы использовать связанную с этим линейность. Другими словами, если вы используете 200 Вт, а затем 400 Вт, то я уверен, что тепловложение увеличится в 2 раза.$\beta$мы должны быть осторожны. Вы не можете быть (очень) близко к кипению, иначе это повлияет на конвективные потоки. И уровень воды тоже сильно повлияет на его стоимость (в основном из-за$m$, но и$A$).

Предложение эксперимента

шаг 1

Для любого произвольного объема воды получите установившиеся значения для различных уровней мощности и используйте их для определения$\alpha/\beta$, который зависит от этого уровня мощности и громкости. Математически это дает:

$$\frac{ \alpha }{ \beta} = T(\infty) - T_{air}$$

Возможно, вы захотите сделать это для нескольких уровней мощности. Просто немного увеличьте уровень мощности, немного подождите, затем запишите температуру. Это должно быть линейно, но степень линейности является хорошим показателем того, насколько точна ментальная картина.

шаг 2

Мы меняли уровень мощности, так что теперь давайте остановимся, сохраним объем воды и уровень мощности одинаковыми и посмотрим на изменение температуры с течением времени. Дифференциальное уравнение, которое я написал, имеет решение, которое в основном сводится к следующему, если кастрюля начинается с температуры окружающей среды, а затем нагревается.

$$T(t) = T_{air} + \left( 1 - e^{ - \beta t } \right) \left( T(\infty) - T_{air} \right)$$

Вы должны знать из предыдущего шага, какова конечная температура, так что это известно.

$$\beta = - \ln{ \left( - \frac{ T(t) - T_{air} }{ T(\infty) - T_{air} } + 1 \right) } / t$$

$$\beta = \ln{ \left( \frac{ T(\infty) - T_{air} }{ T(\infty) - T(t) } \right) } / t$$

При условии, что вы правильно начали с температуры воздуха и правильно нашли конечную температуру, вам нужна только одна точка данных в середине, чтобы решить приведенное выше уравнение.

Это дает возможность найти постоянную времени нагрева, а также способы интерпретации коэффициентов. Помните, что постоянная времени зависит от количества воды в горшке. Если бы вы хотели получить более полное представление, я бы использовал данные для решения$\alpha$, а затем сопоставьте это с тем, что печь говорит о тепле, чтобы получить поправочный коэффициент количества тепла, теряемого непосредственно в воздух из глаз.

У вас происходит три процесса:

1. подаваемое тепло нагревает воду с постоянной скоростью

2. сковорода охлаждается в соответствии с законом Ньютона, т.е. скорость потери тепла пропорциональна разнице температур между сковородой и окружающей средой

3. вы теряете тепло из-за испарения воды

Легко написать дифференциальное уравнение для механизмов 1 и 2, но я думаю, что механизм 3 будет проблематичным. На веб-сайте Engineering Toolbox есть некоторая информация об этом, но для этого требуются такие параметры, как эффективное содержание влаги в воздухе вокруг поддона. Я подозреваю, что вам нужно измерить это, а не пытаться вычислить из первых принципов.

Обратите также внимание, что когда температура достигает 100ºC, механизм меняется, так как испарение становится фактически бесконечным, т.е. даже при большом подводе энергии вы не можете поднять температуру воды (намного) выше 100ºC. Это означает, что вы получите разрыв кривой нагрева при 100ºC.

Вы можете получить некоторое представление о вкладе испарительного охлаждения (ниже 100ºC), нагревая кастрюлю с плотно закрывающейся крышкой и без нее.

см. мы используем простую интеграцию ..

$$dT/dt = -k(T - 100)$$ это соответствует закону охлаждения Ньютона, который гласит, что отрицательная скорость изменения температуры прямо пропорциональна разнице начальной температуры вещества и окружающей температуры окружающей среды.

$$dT/dt = -k(T- 100)$$ $$dT/(T- 100) = -k \,dt$$ $$\int dT/(T- 100) = \int -k \,dt$$ $$\ln(T - 100) = -kt + C \qquad \text{(1)}$$

положить$t = 0$на момент возникновения и соответствующее значение$T$, получаем значение$C$.

Помещение значения$C$в (1) мы можем найти$k$с точки зрения$T$и$t$.

Мы можем поставить соответствующие значения для окончательного ответа.