Насколько горячая вода в кастрюле?

Кажется, мы достигли точки, когда простые модели больше не удовлетворяют нас. Вместо создания специальных DE, возможно, пришло время попробовать настоящую физическую модель. За исключением полного гидродинамического моделирования (определенно здесь излишне), мы можем попробовать так называемую модель сосредоточенной емкости, где мы делим систему на несколько «глыб» и потоки энергии между глыбами:

Основным законом этой системы является закон сохранения энергии. Каждая глыба имеет уравнение вида

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\text{energy in lump}) = \text{rate of energy entering} - \text{rate of energy leaving}.$$

Мы рассматриваем подводимое тепло как фиксированный поток, а воздух (окружающую среду) как тепловую ванну с фиксированной температурой. Если принять теплоемкость$i$-й кусок быть$C_i(T)$, которая может быть функцией температуры, тогда

$$\begin{array}{rcl} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left( C_p(T_p) T_p \right) &=& P - r_1 (T_p - T_w) - r_2 (T_p - T_a)\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left( C_w(T_w) T_w \right) &=& r_1 (T_p - T_w) - r_3 (T_w - T_a) \end{array}$$

Вы можете посмотреть, как теплоемкость$C_w(T)$зависит от температуры воды (хотя, вероятно, не для материала горшка?), но мы резко упростим и ошибочно предположим, что теплоемкости постоянны.

$$\begin{array}{rccl} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} T_p &=& - \frac{r_1 + r_2}{C_p} T_p + \frac{r_1}{C_p} T_w + \frac{P + r_2 T_a}{C_p} &\equiv& a T_p + b T_w + s_p\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} T_w &=& \frac{r_1}{C_w} T_p - \frac{r_1 + r_3}{C_w} T_w + \frac{r_3 T_a}{C_w} &\equiv& c T_p + d T_w + s_w \end{array}$$

где$a,b,c,d,s_p,s_w$являются стенографическими. Обратите внимание, что только шесть комбинаций из семи параметров ($r_1,r_2,r_3,P,T_a,C_p,C_w$) фактически входят в задачу, поэтому имеет место некоторое вырождение параметров. Вы видите, Таро, что это почти та модель, которую вы придумали в своем ответе. Разница в том, что я явно включаю подводимое тепло, так что сохранение энергии гарантировано.

С очевидной матричной стенографией эти уравнения можно записать

$$\dot{T}-MT = s,$$

которое для постоянного источника имеет решение

$$T\left(t\right) = \mathrm{e}^{Mt}T_{0}+\mathrm{e}^{Mt}\left(\int_{0}^{t}\mathrm{e}^{-M\tau}\mathrm{d}\tau\right) s.$$

Когда$M$обратим (что обязательно должно быть для этой задачи - если это не так, то где-то ошибка) интеграл можно упростить:

$$T\left(t\right) = \mathrm{e}^{Mt}\left(T_{0}+M^{-1}s\right)-M^{-1}s.$$

Вы можете проверить, что это удовлетворяет исходному уравнению с соответствующими граничными условиями. Необходимо подобрать восемь параметров: четыре матричных элемента, два источника и две начальные температуры. Это проблема нелинейной регрессии, поскольку экспоненциальная матрица нелинейно зависит от подходящих параметров. Поэтому я боюсь, что не знаю надежного и эффективного способа подогнать эту модель к вашим данным, если вы не используете некоторые предположения для упрощения зависимости параметров, но это физически мотивированная модель для вашей ситуации.

Чтобы закрыть этот пост, я пишу ответ сам, хотя оказалось, что я сделал просто ошибку в расчетах.

Поскольку повышение температуры должно быть монотонным и приближаться к нулю при температуре кипения, разумно предположить, что повышение температуры$dT/dt$пропорциональна разнице$T - 100 \mathrm{^\circ C}$, то есть,

$$\frac{dT}{dt} = -k(T - 100 \mathrm{^\circ C})$$ выполняется для некоторой положительной постоянной $k$. Решение этого уравнения дает $$T = 100 \mathrm{^\circ C} + (T(t_0) - 100 \mathrm{^\circ C})e^{-k(t - t_0)}.$$

Определим коэффициент$k$из$N$измерения методом линейной регрессии. Позволять$c$быть временным интервалом экспериментов и$x_n$температура воды на$t_n = cn$. Затем оцените наклон касательной по формуле

$$y_n = \mathrm{mean}\big(\frac{t_{n + 1} - t_{n}}{c}, \frac{t_{n} - t_{n - 1}}{c}\big) = \frac{t_{n + 1} - t_{n - 1}}{2c}$$ за $0 < n < N$. Из приведенного выше уравнения должно быть соотношение вида $$y_n = -k(x_n - 100 \mathrm{^\circ C}) + \varepsilon_n$$ куда $\varepsilon_n$обозначает экспериментальные ошибки. Я обозначаю это уравнение через $$y = -kx +\varepsilon$$ как стенография. Лучший оценщик $\hat{k}$дается, если $x$а также $\varepsilon$ортогональны друг другу. Следовательно $$\hat{k} = -\frac{(x, y)}{(x, x)} \approx 0.00667 \mathrm{s^{-1}}$$ из расчетов . И это значение хорошо согласуется с экспериментальными данными.

Примечание. Я полностью переписываю этот ответ. Здесь я хотел бы просмотреть, где мой ответ был неуместным. Кажется, это не проблема физики, а проблема статистики. В прошлый раз я сначала решил DE и взял логарифм, чтобы сделать его линейным. Однако трансформировались и экспериментальные ошибки. Особенно,$\ln(100 - x_n) \to -\infty$в качестве$x_n \to 100$. Таким образом, это, по-видимому, вызывает переобучение при более высокой температуре и плохое прилегание при более низкой температуре. (Учитывая эффект горшка, это выглядит хорошей идеей, но все, что я пробовал, терпит неудачу. Он не соответствует данным и все еще открывается, хотя я уже получил разумное приближение.)

Большое спасибо за помощь мне, Крису, Стефану Бишофу, Майклу Брауну и Кристофу.

Подгонка данных обычно выполняется методом наименьших квадратов . Он уже реализован в паре систем компьютерной алгебры. Я рекомендую gnuplot с открытым исходным кодом для подгонки данных. Вы найдете наиболее подходящие результаты модели в наименьшем числе подходящих наименьших квадратов. Моя ссылка содержит пример скрипта gnuplot для подгонки.

Отвечать

$$T_1(t) = A\cdot t - B\cdot e^{-k\cdot t}+C$$ Начните примерку с предложения насыщенного роста Криса в комментариях. Попробуйте определить $T_{\text{boil}}(p)\approx 100\,$°С и $T_{\text{room}}$из $T(0s)$.

Отредактируйте информацию о длительном времени после измерения: не выключая плиту, я думаю о том, что вода все еще готовится. Перевод с водной на газовую фазу все еще продолжается. Диаграмма измерения после фазы нагрева будет выглядеть как постоянная/зашумленная.$\approx 100\,$°С насыщения. Это расширенное измерение лучше было бы охватить некоторым гиперболическим тангенсом

$$T_2(t)=A\cdot t+ B\cdot \tanh(k\cdot t)+C$$ Логистический рост представляет собой более медленное повышение температуры и асимптотическое увеличение до $\approx 100\,$°С.