Как определяется угловой момент системы двух тел?

Угловой момент$\vec{L}$и крутящий момент$\vec{\tau}$оба зависят от выбора источника. Но отношение между ними не зависит от выбора координаты. Угловой момент не обязательно постоянен во времени, скорость его изменения равна крутящему моменту.

$$\frac{d\vec{L}}{dt} = \vec{\tau}.$$

Посмотрим, как это отношение сохраняется в происхождении изменений:

В кадре А:

$$\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p};\\ \vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F};\\ $$

Скорость изменения углового момента:

$$\frac{d\vec{L}}{dt} = \frac{d}{dt} \left( \vec{r} \times \vec{p} \right) = \vec{v}\times\vec{p} +\vec{r}\times \frac{d\vec{p}}{dt} = \vec{r} \times \vec{F} = \vec{\tau}.$$

Скажем, что мы перемещаем источник в$\vec{R}$(постоянный вектор), такой, что$\vec{r} \to \vec{r}' = \vec{r} + \vec{R}$. Оба$\vec{L}$и$\vec{\tau}$изменяются в соответствии с перемещением начала координат:

В кадре Б:

$$\vec{L}_B = \left(\vec{r} + \vec{R} \right) \times \vec{p} \ne \vec{L};\\ \vec{\tau}_B = \left( \vec{r} + \vec{R} \right) \times \vec{F} \ne \vec{\tau};\\ $$

Но скорость изменения углового момента по отношению к крутящему моменту одинакова:

$$\frac{d\vec{L}_B}{dt} = \frac{d}{dt} \left\{ (\vec{r} + \vec{R}) \times \vec{p} \right\} \\ = \vec{v}\times\vec{p} + (\vec{r} +\vec{R} )\times \frac{d\vec{p}}{dt} = (\vec{r} +\vec{R} ) \times \vec{F} = \vec{\tau}_B.$$

С$\vec{R}$постоянный вектор,$\frac{d\vec{R}}{dt} = 0$.

Из многих тел,$\vec{L}$и$\vec{\tau}$оба являются векторной суммой каждого отдельного углового момента или крутящего момента. И соотношение между скоростью изменения полного углового момента и полного крутящего момента такое же.

Итак, у вас есть два объекта, каждый из которых имеет импульс$\boldsymbol{p}_1 = m_1 \boldsymbol{v}_1$и$\boldsymbol{p}_2 = m_2 \boldsymbol{v}_2$. Угловой момент определяется из положений тела как$\boldsymbol{L}_1 = \boldsymbol{r}_1 \times \boldsymbol{p}_1$и$\boldsymbol{L}_2 = \boldsymbol{r}_2 \times \boldsymbol{p}_2$, все определены из общего происхождения.

Вместе вы получите общий импульс как сумму отдельных частей

$$\begin{aligned} \boldsymbol{p} & = \boldsymbol{p}_1 + \boldsymbol{p}_2 & \boldsymbol{L} & = \boldsymbol{L}_1 + \boldsymbol{L}_2 \end{aligned}$$

Теперь неясно, какова кинематика двух тел, что приводит к дальнейшим упрощениям. Например, если два тела находятся на орбите друг вокруг друга, то они оба вращаются вокруг общего бари-центра, определяемого формулой

$$\boldsymbol{r}_C = \frac{ m_1 \boldsymbol{r}_1 + m_2 \boldsymbol{r}_2 }{m_1 +m_2}$$

Теперь разложите каждую позицию как$\boldsymbol{r}_1 = \boldsymbol{r}_C + \boldsymbol{d}_1$и$\boldsymbol{r}_2 = \boldsymbol{r}_C + \boldsymbol{d}_2$и обратите внимание, что для того, чтобы барицентр был правильным, вы должны иметь$m_1 \boldsymbol{d}_1 + m_2 \boldsymbol{d}_2 = 0$.

Если они вращаются вокруг друг друга, то имеют общую скорость вращения$\boldsymbol{\omega}$относительно барицентра, а кинематика такова:

$$\begin{aligned} \boldsymbol{v}_1 &= \boldsymbol{v}_C + \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{d}_1 & \boldsymbol{v}_2 &= \boldsymbol{v}_C + \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{d}_2 \end{aligned}$$

Теперь возьмем общий импульс

$$\require{cancel} \begin{aligned} \boldsymbol{p} & = m_1 \boldsymbol{v}_1 + m_2 \boldsymbol{v}_2 \\ & = m_1 (\boldsymbol{v}_C + \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{d}_1) + m_2 ( \boldsymbol{v}_C + \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{d}_2) \\ & = (m_1 + m_2) \boldsymbol{v}_C + \boldsymbol{\omega} \times \cancel{(m_1 \boldsymbol{d}_1 + m_2 \boldsymbol{d}_2 )} \\ & = (m_1 + m_2)\,\boldsymbol{v}_C \end{aligned}$$

И полный момент импульса относительно барицентра

$$\begin{aligned} \boldsymbol{L}_C & = \boldsymbol{d}_1 \times \boldsymbol{p}_1 + \boldsymbol{d}_2 \times \boldsymbol{p}_2 \\ & = \boldsymbol{d}_1 \times m_1 (\boldsymbol{v}_C + \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{d}_1) + \boldsymbol{d}_2 \times m_2 (\boldsymbol{v}_C + \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{d}_2) \\ & = \cancel{ ( m_1 \boldsymbol{d}_1 + m_2 \boldsymbol{d}_2 )}\times \boldsymbol{v}_C + \boldsymbol{d}_1 \times ( \boldsymbol{\omega}\times \boldsymbol{d}_1) + \boldsymbol{d}_2 \times ( \boldsymbol{\omega}\times \boldsymbol{d}_2) \\ & = \mathbf{I}_1 \boldsymbol{\omega} + \mathbf{I}_2 \boldsymbol{\omega} = ( \mathbf{I}_1 + \mathbf{I}_2 ) \boldsymbol{\omega} \end{aligned}$$

где$\mathbf{I}_i$представляет собой тензор момента инерции массы 3 × 3, полученный с помощью некоторого математического трюка путем вынесения на множители$\boldsymbol{\omega}$от$\boldsymbol{d}_i \times ( \boldsymbol{\omega}\times \boldsymbol{d}_i)$.

Теперь, чтобы передать угловой момент в начало координат, вы делаете следующее.

$$\boldsymbol{L} = \boldsymbol{L}_C + \boldsymbol{r}_C \times \boldsymbol{p}$$

Здесь сохранено то, что$\boldsymbol{L}_C$не только по величине, но и по направлению, а также$\boldsymbol{p}$так как внешние силы отсутствуют. Как результат$\boldsymbol{L}$также сохраняется. Условие в том, что$\boldsymbol{r}_C \times \boldsymbol{v}_C = 0$.

Для каждого тела$\boldsymbol{L}_i = \boldsymbol{d}_i \times m_i ( \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{d}_i )$сохраняется, если$\boldsymbol{\omega}\cdot \boldsymbol{d}_i=0$.