Компоненты метрики, заданные уравнением Эйнштейна

Question

Компоненты метрики, заданные уравнением Эйнштейна

РФейнман

Во внешней области без вещества находится стационарная черная дыра, сферически симметричная, где космологическая постоянная не равна нулю. Из структурных уравнений Картана для пространства без кручения мы получаем следующий ненулевой тензор Риччи:

р_{р 0} "=" 0 р_{00} "=" е^{- (U + В)} [\partial_{р} (е^{(- В + U)} \partial_{р} U)] + \frac{2}{р} е^{- 2 В} \partial_{р} U р_{р р} "=" - е^{- (U + В)} [\partial_{р} (е^{(- В + U)} \partial_{р} U] + \frac{2}{р} е^{- 2 В} \partial_{р} В р_{θ θ} "=" р_{ф ф} "=" \frac{е^{- 2 В}}{р} (\partial_{р} В - \partial_{р} U) + \frac{1}{р^{2}} (1 - е^{- 2 В})

$R_{r0} = 0 \\ R_{00} =e^{-(U + V)}[\partial_r ( e^{(-V + U)} \partial_rU)] + \frac{2}{r} e^{-2V} \partial_rU \\ R_{rr} = -e^{-(U+V)}[\partial_r(e^{(-V + U)} \partial_rU] + \frac{2}{r} e^{-2V} \partial_rV \\ R_{\theta \theta} = R_{\phi \phi} =\frac{e^{-2V}}{r}(\partial_rV - \partial_rU) + \frac{1}{r^2} (1 - e^{-2V})$

Затем меня просят найти компоненты метрики, разрешающие уравнения Эйнштейна, и тут я немного застрял, я могу написать общее уравнение Эйнштейна:

г_{мю ν} + Λ г_{мю ν} "=" р_{мю ν} - \frac{р}{2} г_{мю ν} + Λ г_{мю ν} "=" κ Т_{мю ν}

$G_{\mu \nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = R_{\mu \nu} - \frac{R}{2}g_{\mu \nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = \kappa T_{\mu \nu}$

и как тогда можно найти компоненты метрики, используя это?

Редактировать:

Исправленное уравнение Эйнштейна

Редактировать2:

Перечитывая упражнение, я заметил, что у меня есть больше информации, чем я написал в этом посте.

Компоненты метрики задаются:

г с^{2} "=" г_{мю ν} г {Икс}^{мю} г {Икс}^{ν} "=" η_{мю ν} ю^{мю} \otimes ю^{ν}

$ds^2 = g_{\mu \nu} dx^{\mu} dx^{\nu} = \eta_{\mu \nu} \omega^{\mu} \otimes \omega^{\nu}$

и

\begin{aligned} ю^{0} "=" е^{U (р) г т} \\ ю^{1} "=" е^{В (р) г т} \\ ю^{θ} "=" р г θ \\ ю^{ф} "=" р грех θ г ф \end{aligned}

$\begin{align} \omega^0 = e^{U(r)dt} \\ \omega^1 = e^{V(r)dt} \\ \omega^{\theta} = rd\theta \\ \omega^{\phi} = r\sin\theta d\phi \end{align}$

Из этого я могу вычислить метрику и написать:

г_{мю ν} "=" г я а г (- е^{2 U (р)}, е^{2 В (р)}, р^{2}, р^{2} {грех}^{2} θ)

$g_{\mu \nu} = diag(-e^{2U(r)}, e^{2V(r)}, r^2 , r^2 \sin^2 \theta)$

Итак, для компонента $00$ , мы пишем:

р_{00} - \frac{р}{2} г_{00} + Λ г_{00} "=" 0 \Leftrightarrow р_{00} - \frac{г^{α β} р_{α β}}{2} г_{00} + Λ г_{00} "=" 0

$R_{00} - \frac{R}{2}g_{00} + \Lambda g_{00} = 0 \\ \Leftrightarrow R_{00} - \frac{g^{\alpha \beta} R_{\alpha \beta}}{2}g_{00} + \Lambda g_{00} = 0$

Андрей

Во-первых, то, что вы написали как уравнения Эйнштейна, неверно. По определению ,

G_{μ ν} \equiv R_{μ ν} - \frac{1}{2} R g_{μ ν}

$G_{\mu\nu}\equiv R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}R g_{\mu\nu}$ . Тогда уравнения Эйнштейна

G_{μ ν} + Λ g_{μ ν} = κ T_{μ ν}

$G_{\mu\nu}+\Lambda g_{\mu\nu}=\kappa T_{\mu\nu}$ , где

κ = 8 π G / c^{4}

$\kappa=8\pi G/c^4$ ,

Λ

$\Lambda$ - космологическая постоянная, а

T_{μ ν}

$T_{\mu\nu}$ – тензор энергии-импульса. Поскольку вы работаете в вакууме,

T_{μ ν} = 0

$T_{\mu\nu}=0$ , поэтому уравнения Эйнштейна

G_{μ ν} + Λ g_{μ ν} = 0

$G_{\mu\nu}+\Lambda g_{\mu\nu}=0$ . (...)

Элети

Это вакуумные растворы, поэтому на правой стороне у нас ноль. Затем вы можете просмотреть ненулевые компоненты и найти функции

U

$U$ и

V

$V$ . Вы уже пробовали это?

Андрей

(...) Во-вторых, в общем случае уравнения Эйнштейна представляют собой набор нелинейных УЧП второго порядка для метрики. Однако, поскольку вы имеете дело со сферически симметричным статическим пространством-временем, вы действительно получите ОДУ, где все является функцией

r

$r$ только. Итак, вы хотите выразить уравнения в форме, в которой эта структура проявляется. Для начала попробуйте записать

00

$00$ компонент уравнений Эйнштейна явно через

U

$U$ и

V

$V$ . Вы видите, как это дает вам ODE? Если это сработает, попробуйте выполнить

0 i

$0i$ и

i j

$ij$ компоненты.

РФейнман

@ Эндрю Я отредактировал свой вопрос и написал полученное уравнение, но оно все еще не похоже на ODE. Я действительно не знаю, что мне не хватает.

Андрей

@RFeynman Итак, давайте возьмем вашу первую строчку,

R_{μ ν} - \frac{1}{2} g_{μ ν} R + Λ g_{μ ν} = 0

$R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}R+\Lambda g_{\mu\nu}=0$ . Тогда давайте посмотрим на

00

$00$ компонент,

R_{00} - \frac{1}{2} g_{00} R + Λ g_{00} = 0

$R_{00}-\frac{1}{2} g_{00} R + \Lambda g_{00}=0$ . Мы хотим извлечь уравнение для

U

$U$ и

V

$V$ . Итак, вам нужно подключить

00

$00$ составляющая метрики,

g_{00}

$g_{00}$ , скаляр Риччи

R

$R$ , и

00

$00$ компонент тензора Риччи,

R_{00}

$R_{00}$ , с точки зрения

U

$U$ и

V

$V$ . В вашем вопросе у вас действительно есть

R_{00}

$R_{00}$ уже. Вы также должны быть в состоянии выписать метрику

d s^{2} = g_{μ ν} d x^{μ} d x^{ν}

$ds^2=g_{\mu\nu} dx^\mu dx^\nu$ получить

g_{00}

$g_{00}$ . Скаляр Риччи

g^{μ ν} R_{μ ν}

$g^{\mu\nu}R_{\mu\nu}$ .

Андрей

Также, пожалуйста, будьте осторожны. В своем отредактированном вопросе вы записываете

g^{μ ν} R_{μ ν} g_{μ ν}

$g^{\mu\nu}R_{\mu\nu} g_{\mu\nu}$ . Эта нотация «не анализируется» — в соглашении Эйнштейна о суммировании повторяющиеся индексы суммируются. Данный индекс должен либо появляться дважды, один раз наверху и один раз внизу, и в этом случае он суммируется и является фиктивным индексом. ИЛИ , индекс должен появиться один раз, либо наверху, либо внизу, и в этом случае он является «бесплатным» индексом и не суммируется. Правильный способ написания этого термина

g^{α β} R_{α β} g_{μ ν}

$g^{\alpha \beta} R_{\alpha \beta} g_{\mu\nu}$ -- существует неявная сумма по

α, β

$\alpha,\beta$ .

РФейнман

@Andrew Итак, уравнение для компонента 00 - это то уравнение, в котором я должен суммировать

α

$\alpha$ и

β

$\beta$ ?

Андрей

The

00

$00$ компонент

R_{00} - \frac{1}{2} g_{00} R + Λ g_{00} = 0

$R_{00}-\frac{1}{2} g_{00} R + \Lambda g_{00}=0$ . Вычислить

R

$R$ , нужно суммировать

g^{α β} R_{α β}

$g^{\alpha \beta} R_{\alpha \beta}$ над

α

$\alpha$ и

β

$\beta$ . Здесь обратите внимание, что

g^{α β}

$g^{\alpha\beta}$ обратная метрика , отличная от метрики

g_{α β}

$g_{\alpha \beta}$ . Между тем, вы уже написали выражение для

R_{00}

$R_{00}$ в вашем вопросе. Вы также должны были записать выражение для

g_{μ ν}

$g_{\mu\nu}$ где-то , чтобы вычислить тензор Риччи — из этого выражения можно получить

g_{00}

$g_{00}$ а также обратную метрику.

РФейнман

@Андрей Спасибо большое, теперь понял! Как я могу дать вам немного кармы?

Андрей

Не беспокойтесь, я рад, что вы смогли ответить на вопрос самостоятельно!

Ответы (1)

Компоненты метрики, заданные уравнением Эйнштейна

Во-первых, то, что вы написали как уравнения Эйнштейна, неверно. По определению , $G_{\mu\nu}\equiv R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}R g_{\mu\nu}$ . Тогда уравнения Эйнштейна $G_{\mu\nu}+\Lambda g_{\mu\nu}=\kappa T_{\mu\nu}$ , где $\kappa=8\pi G/c^4$ , $\Lambda$ - космологическая постоянная, а $T_{\mu\nu}$ – тензор энергии-импульса. Поскольку вы работаете в вакууме, $T_{\mu\nu}=0$ , поэтому уравнения Эйнштейна $G_{\mu\nu}+\Lambda g_{\mu\nu}=0$ . (...)
Это вакуумные растворы, поэтому на правой стороне у нас ноль. Затем вы можете просмотреть ненулевые компоненты и найти функции $U$ и $V$ . Вы уже пробовали это?
(...) Во-вторых, в общем случае уравнения Эйнштейна представляют собой набор нелинейных УЧП второго порядка для метрики. Однако, поскольку вы имеете дело со сферически симметричным статическим пространством-временем, вы действительно получите ОДУ, где все является функцией $r$ только. Итак, вы хотите выразить уравнения в форме, в которой эта структура проявляется. Для начала попробуйте записать $00$ компонент уравнений Эйнштейна явно через $U$ и $V$ . Вы видите, как это дает вам ODE? Если это сработает, попробуйте выполнить $0i$ и $ij$ компоненты.
@ Эндрю Я отредактировал свой вопрос и написал полученное уравнение, но оно все еще не похоже на ODE. Я действительно не знаю, что мне не хватает.
@RFeynman Итак, давайте возьмем вашу первую строчку, $R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}R+\Lambda g_{\mu\nu}=0$ . Тогда давайте посмотрим на $00$ компонент, $R_{00}-\frac{1}{2} g_{00} R + \Lambda g_{00}=0$ . Мы хотим извлечь уравнение для $U$ и $V$ . Итак, вам нужно подключить $00$ составляющая метрики, $g_{00}$ , скаляр Риччи $R$ , и $00$ компонент тензора Риччи, $R_{00}$ , с точки зрения $U$ и $V$ . В вашем вопросе у вас действительно есть $R_{00}$ уже. Вы также должны быть в состоянии выписать метрику $ds^2=g_{\mu\nu} dx^\mu dx^\nu$ получить $g_{00}$ . Скаляр Риччи $g^{\mu\nu}R_{\mu\nu}$ .
Также, пожалуйста, будьте осторожны. В своем отредактированном вопросе вы записываете $g^{\mu\nu}R_{\mu\nu} g_{\mu\nu}$ . Эта нотация «не анализируется» — в соглашении Эйнштейна о суммировании повторяющиеся индексы суммируются. Данный индекс должен либо появляться дважды, один раз наверху и один раз внизу, и в этом случае он суммируется и является фиктивным индексом. ИЛИ , индекс должен появиться один раз, либо наверху, либо внизу, и в этом случае он является «бесплатным» индексом и не суммируется. Правильный способ написания этого термина $g^{\alpha \beta} R_{\alpha \beta} g_{\mu\nu}$ -- существует неявная сумма по $\alpha,\beta$ .
@Andrew Итак, уравнение для компонента 00 - это то уравнение, в котором я должен суммировать $\alpha$ и $\beta$ ?
The $00$ компонент $R_{00}-\frac{1}{2} g_{00} R + \Lambda g_{00}=0$ . Вычислить $R$ , нужно суммировать $g^{\alpha \beta} R_{\alpha \beta}$ над $\alpha$ и $\beta$ . Здесь обратите внимание, что $g^{\alpha\beta}$ обратная метрика , отличная от метрики $g_{\alpha \beta}$ . Между тем, вы уже написали выражение для $R_{00}$ в вашем вопросе. Вы также должны были записать выражение для $g_{\mu\nu}$ где-то , чтобы вычислить тензор Риччи — из этого выражения можно получить $g_{00}$ а также обратную метрику.
@Андрей Спасибо большое, теперь понял! Как я могу дать вам немного кармы?
Не беспокойтесь, я рад, что вы смогли ответить на вопрос самостоятельно!

РФейнман · Answer 1

После нескольких советов от @Andrew я смог решить упражнение:

Начнем с записи уравнения Эйнштейна в вакууме ( $T_{\mu \nu} = 0$ ):

г_{мю ν} + Λ г_{мю ν} "=" р_{мю ν} - \frac{р}{2} г_{мю ν} + Λ г_{мю ν} "=" 0 \Leftrightarrow р_{мю ν} - \frac{г^{α β} р_{α β}}{2} г_{мю ν} + Λ г_{мю ν} "=" 0

$G_{\mu \nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = R_{\mu \nu} - \frac{R}{2}g_{\mu \nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = 0 \\ \Leftrightarrow R_{\mu \nu} - \frac{g^{\alpha \beta}R_{\alpha \beta}}{2}g_{\mu \nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = 0$

Затем мы подключаем нужный компонент $\mu$ и $\nu$ , затем мы решаем ОДУ для U и V и получаем компоненты метрики.

Редактировать:

Чтобы найти обратную метрику, мы используем, в связи с тем, что метрика является диагональной:

г_{мю ν} "=" \frac{1}{г^{мю ν}}

$g_{\mu \nu} = \frac{1}{g^{\mu \nu}}$

Компоненты метрики, заданные уравнением Эйнштейна

РФейнман

Андрей

Элети

Андрей

РФейнман

Андрей

Андрей

РФейнман

Андрей

РФейнман

Андрей

Ответы (1)

РФейнман

Два наблюдателя Робертсона-Уокера, в какое время будет получен световой сигнал?

Убивающий тензор метрики Фридмана-Робертсона-Уокера

Объем Вселенной с k=+1k=+1k=+1

Нахождение метрики де-Ситтера Шварцшильда

Как первое уравнение Фридмана выводится из уравнений поля Эйнштейна?

Как найти нулевую геодезическую?

Векторы убийства - метрика Шварцшильда

Как представить эту метрику в матричной форме? [закрыто]

Ускорение частицы, «удерживаемой на месте» при x=1x=1x = 1 [закрыто]

Докажите, что значение космологической постоянной равно плотности энергии вакуума.