Как получить истинную аномалию от времени?

Упражнение, которое осталось нерешенным в прошлогоднем классе, дает мне следующее уравнение:

$$t-t_{p} = \sqrt{\frac{a^3}{\mu}}*(\arcsin(X) - e*X)$$ куда : $$X = \frac{\sqrt{1-e^2}*\sin(v)}{1+e*\cos(v)}.$$

Это просто уравнение Кеплера$M = E-e\sin E$, но написано в терминах$X = \sin E$, куда$E$эксцентрическая аномалия. У нас нет вывода уравнения Кеплера на этом сайте, так что вот. Начну с картинки.

На изображении выше изображено тело$P$по эллиптической орбите вокруг тела$F$занимающая один из фокусов эллипса. Эллипс имеет большую полуось$a$вдоль горизонтальной оси и эксцентриситет$e$. Центр эллипса и описанная им окружность находятся в$C$. Вертикальная проекция текущего местоположения на описанную окружность обозначается$P'$.

Второй закон Кеплера гласит, что площадь эллиптического сектора$ZFP$является линейной функцией времени:$A(ZFP) = k(t-t_p)$, куда$A(ZFP)$рассматриваемая область,$k$некоторая константа,$t$это время, за которое орбитальный объект достигает положения$P$, а также$t_p$время прохождения перицентра. На полной орбите площадь, охватываемая этим эллиптическим сектором, равна площади эллипса:$A(2\pi) = \pi a b$. Таким образом$\pi a b = kT$, куда$T$- орбитальный период, или$k = \frac{\pi a b}T$. Третий закон Кеплера в сочетании с ньютоновской гравитацией, в свою очередь, говорит нам, что$\frac{2\pi}T = \sqrt{\frac \mu {a^3}}$, куда$\mu$- гравитационный коэффициент системы$G(M+m)$. Определение$n = \sqrt{\frac \mu {a^3}}$, у нас есть

$$A(ZFP) = \frac12ab\,n(t-t_p)\tag{1}$$

Нам нужно выражение для$A(f)$. Для этого лучше всего ввести понятие эксцентрической аномалии . Это изображено на изображении как угол$E$. Это формируется путем проецирования точки$P$вертикально до пересечения с описанной окружностью, обозначенной$P'$. Учитывая точку$x,y'$на описанной окружности, выраженной относительно центра$C$, соответствующая точка на эллипсе$x,y$результаты путем масштабирования$y$согласовывать$\frac b a$:$y=\frac b a y'$. Это масштабирование означает, что площадь эллиптического сектора$ZCP$площадь кругового сектора$ZCP'$масштабируется одним и тем же масштабным коэффициентом. Так как площадь кругового сектора$ZCP$является$\frac 1 2 a^2 E$с$E$выраженная в радианах, площадь эллиптического сектора$ZCP$является$\frac 1 2 ab E$.

Рассматриваемая область, область эллиптического сектора$ZFP$, - площадь эллиптического сектора$ZCP$меньше площадь треугольника$FCP$. Последнее$\frac12 \, ae \, b\sin E$(1/2 * основание * высота), или$\frac12 ab\,e\sin E$. Таким образом$A(ZFP) = \frac12 ab (E - e\sin E)$. Объединение этого с уравнением (1) дает

$$E-e\sin E = n(t-t_p) \equiv M \tag{2}$$

Это уравнение Кеплера. Он обеспечивает простой механизм вычисления времени как функции положения. Вычисление положения как функции времени требует инвертирования этой трансцендентной функции двух переменных.$E$а также$e$. Эта обратная функция не может быть выражена через элементарные функции.

Очень простой, гарантированно работающий метод поиска$E$данный$M$а также$e$заключается в использовании схемы итерации с фиксированной точкой$E_{n+1} = M + e\sin E_n$. Любое начальное предположение$E_0$пойдет, но обычно$M$используется в качестве начального предположения. Это сходится для всех$M$и все эксцентриситеты от 0 (включительно) до 1 (исключительно). Сходимость очень медленная, особенно для больших эксцентриситетов. Лучшим подходом является использование метода Ньютона, который демонстрирует квадратичную сходимость , когда он сходится . Для обеспечения сходимости необходимо хорошее начальное предположение для больших эксцентриситетов. Еще лучшие подходы и даже лучшие первоначальные догадки, чем$E_0=M$были найдены на протяжении веков. Уравнение Кеплера является предметом сотен научных работ.

Обращение уравнения Кеплера дает нам эксцентрическую аномалию как функцию времени. А как же настоящая аномалия$f$? Отношение между$E$а также$f$легко находится по формуле тангенса половины угла,$\tan^2 \frac x2 = \frac{1-\cos x}{1+\cos x}$. Координаты точки$P$по отношению к фокусу$F$находятся$x=a(\cos E-e)=r\cos f$,$y=a\sqrt{1-e^2}\sin E = r \sin f$. Таким образом

$$\tan^2 \frac f 2 = \frac{1+e}{1-e} \,\tan^2 \frac E 2$$ (Для этого требуется вывести $r=a(\cos E - e)$, не показано.) Поскольку истинная аномалия и эксцентрическая аномалия всегда находятся на одной стороне $x$оси, тангенсы их половинных углов всегда будут иметь один и тот же знак, что дает $$\tan \frac f 2 = \sqrt{\frac{1+e}{1-e}} \,\tan \frac E 2 \tag{3}$$

Как насчет использования$X=\sin E$вместо$E$, как это сделано в вопросе? Это ситуация типа «тогда не делай этого» (из шутки «Доктор, мне больно, когда я бью себя вот так: 《 bonk 》»). Получается только меньше половины эллипса, а сходимость из$\arcsin X - e X = M$ужасно (если вообще сходится). Используйте уравнение Кеплера (уравнение (2)) для решения$E$, затем найти истинную аномалию$f$(альтернативно пишется как$\nu$или же$\theta$) по уравнению (3).

редактировать: @DavidHammen только что опубликовал гораздо более подробный и проницательный ответ , который также указывает на некоторые проблемы с применением метода Ньютона к текущей форме.

Я почти уверен, что никогда не было найдено аналитического выражения для решения$\nu(t-t_p)$, но решение с использованием метода Ньютона применительно к

$$\sqrt{\frac{a^3}{\mu}}*(\arcsin(X) - e*X) - (t-t_p) = 0$$

должны хорошо сходиться к значениям$X$(или конечно$\nu$если делать замену) за полдюжины итераций, хотя бы для эллиптической орбиты.

Я на самом деле не проверял ваши уравнения, просто поверил вам на слово.

Вы также можете рассчитать массив точек, решающих время, перевернуть его и интерполировать с помощью сплайна, но точность не является предсказуемой/надежной.