Как рассчитать положение точек Лагранжа?

Подробнее о L4 и L5, в том числе об увлекательном решении, в котором равносторонний треугольник постоянно меняет размер, но остается равносторонним, см. этот ответ . Эти и другие варианты паттерна треугольника работают, даже если ни одна из масс не игнорируется. Если три массы равны, центр масс равен геометрическому центру. Существует несколько определений центра треугольника , но для равностороннего треугольника все они совпадают. Если массы не все равны, центр масс будет лежать в средневзвешенном положении трех тел, и весь треугольник будет вращаться вокруг этой точки с одной определенной постоянной угловой скоростью,$\omega^2 = G (m_1 + m_2 + m_3)/d^3$, где$d$это расстояние от трех масс друг к другу .

L3 — одна из линейных, впервые найденных Эйлером, как и L1 и L2. Он лежит на линии между двумя большими массами, но с противоположной стороны от наибольшей массы, поэтому схема выглядит так:

L3 --- Первичный --- L1 --- Вторичный --- L2.

Типичные уравнения для L1, L2 и L3, такие как в Википедии , предполагают, что наименьшая масса фактически равна нулю, но это тоже не обязательно. Три массы должны лежать на линии, и эта линия должна равномерно вращаться в фиксированной плоскости, но мы можем найти трехпозиционные решения, даже если все три массы значимы. Уравнение, которое нужно решить, представляет собой полином пятой степени от отношения расстояний между массами. Я не буду ничего выводить, а просто отошлю вас к книге, в которой я это читал: « Введение в математику и методы астродинамики» Ричарда Бэттина , глава 8. Обозначайте тела не по их массам, а скорее по их положениям, упорядоченным от слева направо, на$\xi$оси, как$\xi_1 < \xi_2 < \xi_3$. Определять$r_{ij}$как расстояние$\xi_j-\xi_i$(гарантированно положительные, судя по тому, как мы их обозначили), и пусть$\chi=r_{23}/r_{12}$. Значение$\xi=0$точка, вокруг которой вращается вся система,$\xi_1$должен быть отрицательным, и$\xi_2$также может быть, в зависимости от точного соотношения масс. После некоторой алгебры приходим к уравнению