Как получить расстояние, если ускорение непостоянно?

Здесь есть три случая:

1. Ускорение есть функция времени$a(t)$. Тогда скорость

   $$v(t)=v_c+\int a(t)\,{\rm d}t \tag{1}$$ и положение как функция времени $$x(t)= x_c + \int v(t)\,{\rm d}t \tag{2}$$ Расстояние рассчитывается из$x(t)$.

2. Ускорение зависит от положения$a(x)$. Тогда скорость как функция положения

   $$\frac{1}{2}v(x)^2 = w_c + \int a(x)\,{\rm d}x \tag{3}$$ и время как функция положения $$t(x) = t_c + \int \frac{1}{v(x)}\,{\rm d}x \tag{4}$$ который должен быть решен обратно для$x(t)$.

3. Наконец, ускорение есть функция скорости.$a(v)$. Тогда время как функция скорости us $$t(v) = t_c + \int \frac{1}{a(v)}\,{\rm d}v \tag{5}$$ и положение как функция скорости $$x(v) = x_c + \int \frac{v}{a(v)}\,{\rm d}v \tag{6}$$ которые должны быть решены для$x(v(t))$

_{Где$x_c$,$v_c$,$t_c$а также$w_c$- константы интегрирования соответствующих единиц}

Пример 1

$a(t) = -100 \sin(10 t)$, с$x(0)=0$а также$v(0)=10$

$$v(t) = \int -100\sin(10 t)\,{\rm d}t = 10\,\cos(10 t)$$ $$x(t) = \int 10\cos(10 t)\,{\rm d}t= \sin(10 t)$$

Пример 2

$a(x) = -100 x$, с$x(0)=0$а также$v(0)=10$

$$\frac{1}{2}v(x)^2 = \int -100 x {\rm d}x = 50 (1-x^2)$$ $$v(x) = 10 \sqrt{\left(1-x^2\right)}$$ $$t(x) = \int \frac{1}{10 \sqrt{\left(1-x^2\right)}}\,{\rm d}x = \frac{\sin^{-1}(x)}{10}$$ $$x(t) = \sin(10 t)$$

Пример 3

$a(v) = 100 - 5 v$, с$x(0)=0$а также$v(0)=10$

$$t(v) = \int \frac{1}{100 - 5 v}\,{\rm d}v = -\frac{1}{5}\ln{ \left( \frac{20-v}{10} \right) }$$ $$x(v) = \int \frac{v}{100 - 5 v}\,{\rm d}v = 2-\frac{v}{5}-4 \ln{\left(\frac{20-v}{10}\right)}$$ с раствором$v(t) = 20-10 \hat{e}^{-5 t}$а также$x(v(t)) = 2 \hat{e}^{-5 t}+20 t-2$

Технически уравнение

$$d = \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}t + \frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2}\frac{t^2}{2}$$

это не так. Вместо этого для постоянного ускорения вам нужно

$$d = \left(\left.\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right|_0\right) t + \left(\left.\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2}\right|_0\right) \frac{t^2}{2}$$

Другими словами, такая величина, как$\mathrm{d}x/\mathrm{d}t$изменяется во времени, но вы хотите использовать только начальную скорость. Я думаю, что это то, с чего вы, вероятно, хотели начать.

Если вы хотите решить проблему чисто кинематически, то вы можете попытаться расширить положение в ряд Тейлора, как вы написали в своем ответе. Однако это работает только в том случае, если функция равна своему ряду Тейлора. Для простых функций, таких как экспоненциальные и триггерные функции, это верно, но для человека, управляющего автомобилем, это не так. Если функция везде равна своему ряду Тейлора, то, наблюдая за ее положением на любом конечном интервале времени, каким бы коротким он ни был, можно полностью определить, что машина будет делать в будущем. Это нереально.

Вместо этого вам понадобится какой-то способ определить либо скорость, либо ускорение как функцию времени или положения. В физике принято определять ускорение как функцию положения. Причина в том, что ускорение исходит из уравнения

$$F=ma$$ так что, если вы можете определить действующие силы, вы знаете ускорение, и производные более высокого порядка не нужны.

Если вы знаете скорость как функцию времени, вы можете просто интегрировать ее, чтобы найти смещение.

$$d(t) = \int_{t_0}^t v(t') \mathrm{d}t'$$

Если вы знаете ускорение как функцию времени, вы также можете интегрировать его, хотя такая ситуация менее распространена.

$$d(t) = v_0(t - t_0) + t\int_{t_0}^t a(t')\mathrm{d}t' - \int_{t_0}^t t'a(t')\mathrm{d}t'$$

Я нашел это выражение, ища что-то, чья производная по времени была бы скоростью

$$v(t) = v_0 + \int_{t_0}^t a(t')\mathrm{d}t'$$

Если вы знаете скорость как функцию положения, у вас есть дифференциальное уравнение

$$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = v(x)$$

которые вы можете решить путем разделения переменных.

Если вы знаете ускорение как функцию положения, у вас есть дифференциальное уравнение

$$\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} = a(x)$$

которую не всегда легко решить. В более реалистичных сценариях ускорение будет зависеть не только от собственного положения объекта, но и от положения вещей, с которыми он взаимодействует. Это дает связанные дифференциальные уравнения, которые могут быть упрощены в частных случаях, но часто могут быть решены только численно.

Вы можете продолжать добавлять производные более высокого порядка, пока они не станут исчезающе малыми. Удобной точкой входа в эту тему будет статья в Википедии Рывок (физика) .

Имейте в виду, что когда вы находитесь в автомобиле, рывок имеет значение только в то время, когда педаль акселератора фактически движется, в первом приближении.

Обновление: кажется, что вопрос, имеющий большое значение для вас, был задан несколько часов назад на math.se - Что является примером применения производной более высокого порядка ($y^{(n)}$,$n≥4$)? . Ответ Артуро расширяет высшие производные в кинематике (прыгать!), В то время как ответ Грега включает в себя источник рывков в вождении, который я не учел (рулевое управление).

Я считаю, что это очень помогает понять фундаментальное явление. У вас правильное уравнение, но рассмотрите его вывод:

Начнем со второго закона Ньютона,

${\bf F} = \dot{\bf p}$

куда${\bf F}$- вектор силы и$\dot{\bf p}$является производной импульса по времени. Уравнение, которое вы дали, получается, если принять постоянную силу и дважды интегрировать по времени. То есть,

$\frac{d {\bf F}}{dt} = 0 \implies \iint_0 ^t {\bf F} dt^2 = \frac{{\bf F} t^2}{2} + C_1 t + C_0$

чтобы

$x = \frac{{\bf F} t^2}{2m} + C_1 t + C_0$

с константами, определяемыми начальными условиями и законами сохранения. Вы сказали, что у вас есть приличный опыт в области исчисления, поэтому, если вы знаете уравнение для силы, вы сможете подставить его в закон Ньютона и интегрировать, чтобы получить решение.

ПРИМЕР

Предположим, что все в$\hat x$направление для удобства. Если мы возьмем простую силу, например

${\bf F}(t) = \sin(\frac{\pi t}{t_{max}} - \frac{\pi}{2}) + F_{max}$

тогда,

$\int_0 ^t {\bf F}(t) dt = F_{max} t-\frac{t_{max}}{\pi} \sin(\frac{\pi t}{t_{max}}) + C_1$

а также,

$\iint_0 ^t {\bf F}(t) dt^2 = \frac{F_{max} t^2}{2}+\frac{t_{max}^2}{\pi^2} \cos(\frac{\pi t}{t_{max}}) + C_1 t + C_0$

Исходя из уравнения Ньютона, это дает

$x = \frac{F_{max} t^2}{2m}+\frac{t_{max}^2}{\pi^2 m} \cos(\frac{\pi t}{t_{max}}) + C_1 t + C_0$

Из начальных условий и законов сохранения видим, что

$C_0 = x_0 - \frac{t_{max}^2}{\pi^2 m}$

а также

$C_1 = v_0$

в результате чего

$x = \frac{F_{max} t^2}{2m}+\frac{t_{max}^2}{\pi^2 m} \cos(\frac{\pi t}{t_{max}}) + v_0 t + x_0 - \frac{t_{max}^2}{\pi^2 m}$.

В простом случае с нулевой начальной скоростью и положением

$x = \frac{F_{max} t^2}{2m}+\frac{t_{max}^2}{\pi^2 m} \cos(\frac{\pi t}{t_{max}}) - \frac{t_{max}^2}{\pi^2 m}$.

Вы говорите о сериале Тейлор. Полная вещь:

$$x(t) = x(0) + x'(0) t + x''(0) {t^2\over 2} + x^{(3)}(0) {t^3\over 6} + x^{(4)}(0) {t^4\over 4!} ...$$

Каждая производная более высокого порядка добавляет член, а n-й член делится на$n!$. Вы можете видеть, что это уникальное выражение, заметив, что если вы продифференцируете его n раз и подставите x = 0, вы получите одинаковый ответ с обеих сторон. Строго доказать это тоже несложно, но требуется хорошая оценка размера n-й производной в интервале.