Почему ускорение должно быть постоянным при интегрировании?

Ускорение не обязательно должно быть постоянным. По определению,$a=dv/dt$. Вы все еще можете решить для$v(t)$путем интеграции$\int a(t) dt$.

Если ускорение постоянно, вы придете к обычной ситуации$v(t)=v_0 +at$. Если ускорение непостоянно, вы получите другой (более интересный) результат для$v(t)$так как теперь вы интегрируете функцию, которая включает$t$.

Например, если$a(t)=\frac{a_0}{t^2}$, затем$v(t)=-\frac{a_0}{t}+v_0$.

Почему ускорение должно быть постоянным?

Уравнения, которые вы даете, не требуют постоянного ускорения, они верны независимо от того:

$$\begin{align} v(t) &= \int^t_0 a(t')dt' + v_0 \\ &= \int^t_0 \frac{dv(t')}{dt'}dt' + v_0 \\ &= \int^t_0 dv(t') + v_0 \\ &= v(t) - v(0) + v_0 \\ &= v(t) \end{align}$$

где я использовал определение ускорения,$a(t) = \frac{dv(t)}{dt}$, в строке 2. Аналогично для позиции

$$x(t) = \int^t_0 v(t')dt' + x_0 = \int^t_0 \frac{dx(t')}{dt'}dt' + x_0 = \int^t_0 dx(t') + x_0 = x(t) - x(0) + x_0 = x(t)$$

используя определение скорости,$v(t) = \frac{dx(t)}{dt}$, в$2^{nd}$шаг. Важно отметить, что постоянное ускорение не предполагалось:$a(t)$может быть чем-то дифференциально-способным.

Я не понимаю, зачем интеграции нужно постоянное ускорение как таковое.

В общем случае это не так, но если вы это предполагаете, уравнения значительно упрощаются :)

Если ускорение постоянно, то$a(t) \rightarrow a$так как это не зависит от времени. Это позволяет вытащить его из интеграла, что делает интеграл разрешимым. Исходя из определения ускорения в интегральной форме

$$\begin{align} v(t) &= \int a(t)dt \\ &\rightarrow a\int dt \quad\text{ (!!)} \\ &= at+c \end{align}$$

где$c$является константой и$(!!)$означает, что я использовал тот факт, что ускорение является постоянным. Если вы считаете$t=0$:$v(t=0) = c$тогда становится очевидным, что$c$- начальная скорость,$v(t=0)$, а я переименую как$v_0$.

$$\begin{equation} v(t) = at+v_0 \tag{1} \end{equation}$$

Затем вы можете повторить этот процесс с позицией,$x$, учитывая определение скорости

$$\begin{align} x(t) &= \int v(t)dt \\ &= \int (at+v_0)dt \quad\text{ (!!)} \\\\ &= \int at dt + \int v_0 dt \\ &\rightarrow a\int t dt + v_0\int dt \quad\text{ (!!)} \\\\ &= \frac{1}{2}at^2 + v_0t + c \end{align}$$

Учитывая$t=0$снова:$x(t=0) = c$, так что у нас есть

$$\begin{equation} x(t) = \frac{1}{2}at^2 + v_0t + x_0 \tag{2} \end{equation}$$

Уравнения 1 и 2 широко используются в классической физике, потому что мы часто рассматриваем простые случаи с постоянными силами (например, гравитацией и электростатикой), которые производят постоянные ускорения. Также есть еще несколько уравнений для постоянного ускорения, подробнее о них здесь .

---

Если ускорение непостоянно, то у вас есть некоторая функция$t$. Например,

$$\begin{align} a(t) &= xt^2 + yt + z \\ v(t) &= \int a(t) dt \\ &= \int (xt^2 + yt + z) dt \\ &= \int xt^2 dt + \int yt dt + \int z dt \\ &= x\int t^2 dt + y\int t dt + z\int dt \\ &= \frac{1}{3}xt^3 + \frac{1}{2}yt^2 + zt + c \end{align}$$