Как найти конечную скорость, если ускорение изменяется между двумя значениями на некотором расстоянии? [дубликат]

Ваша проблема здесь в том, что ваше уравнение имеет форму:

то есть слева у вас есть производная по времени, а справа у вас есть функция расстояния. Чтобы решить эту проблему, требуется один из (многих) приемов, которым физики учатся только на собственном опыте. Вам нужно использовать цепное правило, чтобы переписать:

Итак, теперь вы можете переписать уравнение как:

а затем интегрировать:

Вот пример, показывающий, что проблема, указанная в исходном вопросе, недоопределена.

Предположим, что расстояние$s$пройденный объектом за время$t$дан кем-то

$s(t) = 91t^3 -49t^4 +21t^5$

Тогда скорость и ускорение тела равны

$v(t) = 273t^2 - 196t^3 + 105t^4 \\ a(t) = 546t - 588t^2 + 420t^3$

Итак, у нас есть$s(0)=v(0)=a(0)=0$и$s(1)=63$,$v(1)=182$,$a(1)=378$

Но теперь предположим, что расстояние, скорость и ускорение объекта равны:

$s(t) = 51t^3 +21t^4 -9t^5 \\ v(t)=153^2+84t^3-45t^4 \\ a(t)=306t+252t^2-180t^3$

Итак, теперь у нас есть$s(0)=v(0)=a(0)=0$и$s(1)=63$,$v(1)=144$,$a(1)=378$

Итак, у нас есть два разных сценария, в которых объект перемещается на расстояние$63$, его начальная скорость и начальное ускорение равны$0$, его конечное ускорение равно$378$, но его конечная скорость$182$в одном случае и$144$в другом.

Как уже говорили другие, если у вас есть функция ускорения, заданная явно как функция расстояния, вы можете использовать для этого математические приемы или использовать соотношение между работой и кинетической энергией.

$1/2mv^2 = \int F(x) dx$

$1/2v^2 = \int a(x) dx$

Однако, учитывая, что у вас действительно есть ускорение как функция времени, мы можем сделать это, чтобы решить:

$V=\int a(t) dt$

Подключить$(t=0, v=v_{0})$

Затем используйте это выражение для скорости как функции времени, чтобы вычислить

S (т) =$\int v dt$

Поскольку мы хотим узнать скорость на определенном расстоянии, мы можем использовать это уравнение, чтобы найти время, за которое частица достигает определенного расстояния, установив s(t) равным определенному значению и решив уравнение для t

Определение обратной функции s(t), которая возвращает время для заданного расстояния$S^{-1}(s_{0})$

Затем мы можем подставить это значение для времени обратно в наше исходное уравнение для скорости.