Раздел А: Связь преобразований сложных3 × 3
антисимметричные тензоры и их репрезентативный комплекс3
-векторы.
ПозволятьU
— специальное унитарное преобразование вСU( 3 )
в лице3 × 3
сложная матрица
U"="⎡⎣⎢ты11ты21ты31ты12ты22ты32ты13ты23ты33⎤⎦⎥(А-01)
С
UU*= я
у нас есть
U*"="U− 1
, так
U*"="(U¯¯¯¯)Т"="UТ¯¯¯¯¯¯¯⎡⎣⎢ты¯¯¯11ты¯¯¯12ты¯¯¯13ты¯¯¯21ты¯¯¯22ты¯¯¯23ты¯¯¯31ты¯¯¯32ты¯¯¯33⎤⎦⎥"="U− 1(А-02)
где
ты¯¯¯
= комплексное сопряжение
ты
и
UТ
транспонированная матрица
U
. К
дет ( U) = 1
у нас есть
U− 1"="⎡⎣⎢(ты22ты33−ты23ты32)(ты23ты31−ты21ты33)(ты21ты32−ты22ты31)(ты13ты32−ты12ты33)(ты11ты33−ты13ты31)(ты12ты31−ты11ты32)(ты12ты23−ты13ты22)(ты13ты21−ты11ты23)(ты11ты22−ты12ты21)⎤⎦⎥(А-03)
U− 1"="⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢+∣∣∣ты22ты32ты23ты33∣∣∣−∣∣∣ты21ты31ты23ты33∣∣∣+∣∣∣ты21ты31ты22ты32∣∣∣−∣∣∣ты12ты32ты13ты33∣∣∣+∣∣∣ты11ты31ты13ты33∣∣∣−∣∣∣ты11ты31ты12ты32∣∣∣+∣∣∣ты12ты22ты13ты23∣∣∣−∣∣∣ты11ты21ты13ты23∣∣∣+∣∣∣ты11ты21ты12ты22∣∣∣⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥(А-03′)
По уравнениям (A-02) и (A-03) комплексно сопряженные элементыU
выражаются через сами элементы
⎡⎣⎢ты¯¯¯11ты¯¯¯12ты¯¯¯13ты¯¯¯21ты¯¯¯22ты¯¯¯23ты¯¯¯31ты¯¯¯32ты¯¯¯33⎤⎦⎥"="⎡⎣⎢(ты22ты33−ты23ты32)(ты23ты31−ты21ты33)(ты21ты32−ты22ты31)(ты32ты13−ты33ты12)(ты33ты11−ты31ты13)(ты31ты12−ты32ты11)(ты12ты23−ты13ты22)(ты13ты21−ты11ты23)(ты11ты22−ты12ты21)⎤⎦⎥(А-04)
то есть
ты¯¯¯11"="ты22ты33−ты23ты32
,
ты¯¯¯21"="ты32ты13−ты33ты12
... и т. д.
Теперь пустью = (ю1,ю2,ю3)
комплекс3
-вектор вС3
иОм
антисимметричная матрица, представляющая операциюю ×
Ом =⎡⎣⎢0ю3−ю2−ю30ю1ю2−ю10⎤⎦⎥= ш ×(А-05)
Предположим, что
ю
превращается в
ю′
при специальном унитарном преобразовании
Uе SU( 3 )
ю′= Uю(А-06)
и
Ом′
антисимметричная матрица, представляющая операцию
ю′×
Ом′"="⎡⎣⎢0ю′3−ю′2−ю′30ю′1ю′2−ю′10⎤⎦⎥"="ю′×(А-07)
Определим теперь связь между антисимметричными матрицами
Ом′
и
Ом
. Для любого
z ∈С3
Ом′г =ю′× г = Uш × г = Uш × UU*г = [дет ( U) ⋅(U− 1)Т] ( ω ×U*г )(А-08)
Для последнего справа равенства в (A-08) воспользуемся тождеством
М а × М б = [дет ( М ) ⋅(М− 1)Т] ( а × б )(Б-02)
раскрыты и доказаны в разделе B.
Сдет ( U) = 1
иU− 1"="U*
[ дет ( U) ⋅(U− 1)Т] ( ω ×U*г )= [(U*)Т( ω × )U*] г = [(U*)ТОмU*] г = [U¯¯¯¯Ом(U¯¯¯¯)Т] г
так наконец
ю′= Uю⟹Ом′"="(U*)ТОмU*"="U¯¯¯¯Ом(U¯¯¯¯)Т(А-09)
С
U¯¯¯¯
также является специальным унитарным преобразованием,
U¯¯¯¯е SU( 3 )
, замена
U
к
U¯¯¯¯
в приведенном выше уравнении (A-09) мы имеем
ю′"="U¯¯¯¯ю⟹Ом′= UОмUТ(А-10)
Обратите внимание, что два уравнения в (A-10) эквивалентны в следующем смысле: Если
Ом
это
3 × 3
антисимметричная матрица, представляющая произведение
ю ×
где
ω ∈С3
, и
Ом′= UОмUТ
,где
Uе SU( 3 )
, затем
Ом′
также является
3 × 3
антисимметричная матрица
Доказательство : (Ом′)Т"="( УОмUТ)Т"="(UТ)ТОмТUТ= U( - Ом )UТ= - UОмUТ= -Ом′
и представляет продукт
ю′×
, где
ю′"="U¯¯¯¯ю
.
Ом′= UОмUТ⟺ю′"="U¯¯¯¯ю(А-10′)
Это подтверждается также приравниванием элементов в уравнении
⎡⎣⎢0ю′3−ю′2−ю′30ю′1ю′2−ю′10⎤⎦⎥"="⎡⎣⎢ты11ты21ты31ты12ты22ты32ты13ты23ты33⎤⎦⎥⎡⎣⎢0ю3−ю2−ю30ю1ю2−ю10⎤⎦⎥⎡⎣⎢ты11ты12ты13ты21ты22ты23ты31ты32ты33⎤⎦⎥
уступающий
⎡⎣⎢ю′1ю′2ю′3⎤⎦⎥"="⎡⎣⎢(ты22ты33−ты23ты32)(ты32ты13−ты33ты12(ты12ты23−ты13ты22(ты23ты31−ты21ты33)(ты33ты11−ты31ты13)(ты13ты21−ты11ты23)(ты21ты32−ты22ты31)(ты31ты12−ты32ты11)(ты11ты22−ты12ты21)⎤⎦⎥⎡⎣⎢ю1ю2ю3⎤⎦⎥
и так по (А-04)
ю′"="U¯¯¯¯ю(А-11)
Примечание. Этот результат относится к первому шагу построения барионов из трех кварков.
3 ⊗ 3 = 6 ⊕3¯¯¯(А-12)
Инвариантность ( комплекса3 × 3
тензорная ) антисимметрия относительноUе SU( 3 )
является инвариантностью комплекса3
-мерное пространство их представителя3
-векторыю
, которые преобразуются под U¯¯¯¯
и не под U
. Это объясняет, почему3¯¯¯
и не3
.
ЕслиU"="U¯¯¯¯= М
, то естьU
действительна, то она представляет собой чистое вращение вр3
,МТ"="М− 1
и (А-10′
) дает
Ом′= М ОмМ− 1⟺ю′= М ω(А-13)
Раздел B : полезная идентификация, необходимая в разделе A
Еслиа = (а1,а2,а3) ,б = (б1,б2,б3)
сложные3
-векторы вС3
иМ
обратимое линейное преобразование в этом пространстве, представленное3 × 3
сложная матрица
М =⎡⎣⎢М11М21М31М12М22М32М13М23М33⎤⎦⎥"="⎡⎣⎢р1р2р3⎤⎦⎥(Б-01)
где
ря( я знак равно 1 , 2 , 3 )
обозначим его комплекс-строку
3
-векторы, то
М а × М б = [дет ( М ) ⋅(М− 1)Т] ( а × б )(Б-02)
где
det ( M ) = определитель M =р1∘ (р2×р3)(Б-03)
(М− 1)Т= транспонированная инверсияМ =1дет ( М )⎡⎣⎢(р2×р3)(р3×р1)(р1×р2)⎤⎦⎥(Б-04)
Выражение
а ∘ б
определяется
а ∘ б =а1б1+а2б2+а3б3(Б-05)
не путать с обычным внутренним продуктом в
С3
⟨ а , б ⟩ знак равноа1б¯¯¯1+а2б¯¯¯2+а3б¯¯¯3(Б-06)
Доказательство: пусть
ч = М а × М б
Если
{е1,е2,е3}
является ортонормированной базой
С3
тогда можно формально написать для любых двух векторов-строк
ρ × σ =∣∣∣∣е1р1о1е2р2о2е3р3о3∣∣∣∣
("формально", потому что определитель есть число, здесь
ея
являются векторами). Следовательно
ч =∣∣∣∣∣е1(М11а1+М12а2+М13а3)(М11б1+М12б2+М13б3)е2(М21а1+М22а2+М23а3)(М21б1+М22б2+М23б3)е3(М31а1+М32а2+М33а3)(М31б1+М32б2+М33б3)∣∣∣∣∣
или в более компактной форме
ч =∣∣∣∣∣е1(р1∘ а )(р1∘ б )е2(р2∘ а )(р2∘ б )е3(р3∘ а )(р3∘ б )∣∣∣∣∣
так
час1"=""=""="(р2∘ а ) (р3∘ б ) − (р2∘ б ) (р3∘ а )р2∘[ (р3∘ б ) а - (р3∘ а ) б ]р3× ( а × б )"="р2∘ [р3× ( а × б ) ](р2×р3) ∘ ( а × б )
то есть
час1= (р2×р3) ∘ ( а × б )
и циклической перестановкой индексов 1,2,3 имеем для двух других компонент
час2= (р3×р1) ∘ ( а × б )
час3= (р1×р2) ∘ ( а × б )
и наконец
ч = М а × М б =⎡⎣⎢(р2×р3)(р3×р1)(р1×р2)⎤⎦⎥( а × б ) знак равно [дет ( М ) ⋅(М− 1)Т] ( а × б )
Обратите внимание, что для
М
реальная ортонормированная матрица
ММТ= я⟹М− 1"="МТ и det ( M ) = ± 1
и уравнение (B-02) дает ожидаемый результат
( M а × M б ) знак равно ± M ( а × б )
Знак «+» действителен для
М
является чистым вращением, в то время как знак «-» действителен для
М
вращение плюс отражение.
innisfree
Qмеханик
пользователь8817