Инвариантные тензоры в общем представлении и их физический смысл

Короткие ответы

1. Примените исчисление Юнга (согласно предложению ACuriousMind в комментариях). Для нахождения кратности тривиального представления в тензорном произведении представлений$SU(n)$, заметим, что каждое неприводимое представление$D$из$SU(n)$имеет единственное сопряженное неприводимое представление$\bar D$такое, что исчисление Юнга допускает$D\otimes \bar D$включить прямоугольную диаграмму Юнга в полный рост$n$(который инвариантен относительно$SU(n)$). Как предложил Вустер в комментариях, чтобы$D\otimes\bar D$чтобы разместить такую ​​диаграмму Юнга, типы совместной симметрии$D$и$\bar D$должен быть совместим (т.е. иметь ненулевое перекрытие) с некоторой тензорной мощностью/внешним произведением полностью антисимметричного тензора$\epsilon_{i_1,\dots,i_n}$. В$SU(n)$, Диаграммы Юнга этого типа соответствуют инвариантному или тривиальному представлению.
2. Если вы просматриваете$n$объемное представление$SU(n)$как своего рода одночастичное гильбертово пространство, то инварианты, образованные из тензорных произведений этого представления, можно рассматривать как$SU(n)$-нейтральные многочастичные состояния. Более абстрактно вы можете интерпретировать представления$SU(n)$совершенно иначе, чем своего рода калибровочная теория, где измеряется «число частиц».
3. Задача ветвления решена в ряде частных случаев. Например, существует явная формула ветвления представлений для$SU(n)\rightarrow SU(n-1)$. Для представлений низкого ранга исчисление Юнга является мощным универсальным инструментом для определения ветвления. Одна из стратегий состоит в том, чтобы разложить фундаментальное представление$SU(5)$в представления$H\subset SU(5)$, а затем итеративно сравните, как разлагаются тензорные произведения. В качестве примера рассмотрим задачу о разложении представлений ранга 2$SU(5)$в представления$SU(2)\subset SU(5)$. Фундаментальное (векторное) представление$SU(5)$распадается как$5_5 \rightarrow 2_2\oplus (1_2 \oplus 1_2 \oplus 1_2)=2_2\oplus 3\times 1_2$. Далее у нас есть$5_5\otimes 5_5=10_5^A\oplus 15_5^S \rightarrow (2_2\oplus 3\times 1_2)\otimes (2_2\oplus 3\times 1_2)=(2_2\otimes 2_2)\oplus 3 \times (2_2\otimes 1_2) \oplus 3\times (1_2\otimes 2_2)\oplus 9\times 1_2=3_2^S\oplus 1_2^A\oplus 3\times 2_2^S\oplus 3\times 2_2^A\oplus 3\times 1_2^A\oplus 6\times 1_2^S$. Группируя члены по симметрии, мы видим, что$10_5^A\rightarrow 4\times 1_2^A\oplus 3\times 2_2^A$, и$15_5^S\rightarrow 3_2^S\oplus 3\times 2_2^S\oplus 6\times 1_2^S$.

Предыстория исчисления Юнга

В физике неприводимые представления часто маркируются их размерностью. Это обозначение компактно, но скрывает основную алгебраическую структуру. Диаграммы Юнга обеспечивают более прозрачную запись, основанную на глубоком результате, двойственности Шура-Вейля , которая связывает неприводимые представления$GL(n)$к группам перестановок$S_r$на$r$символы (здесь$r$— ранг тензорного представления). В конечном счете, двойственность Шура-Вейля возникает из-за того, что конечномерные представления$GL(n)$все они могут быть построены из тензорных произведений одного фундаментального представления (это аналог$\frac{1}{2}$представительство$SU(2)$из элементарной квантовой механики). На данный момент все, что вам нужно знать, это то, что существует соответствие 1-1 между представлениями$GL(n)$и множество всех диаграмм Юнга максимальной высоты$n$. Диаграммы Юнга значительно упрощают задачу разложения тензорных произведений представлений$GL(n)$, а также многие подгруппы$GL(n)$с «похожей» структурой (например,$U(n)$,$SL(n)$,$SU(n)$, и т. д.). Они также облегчают поиск некоторых частичных решений проблемы ветвления, таких как определение того, как представления$GL(n)$разложить на представления$GL(n-1)$.

Позволять$r$быть положительным целым числом. Диаграммы Юнга связаны с разбиениями$r$: последовательности целых чисел$\lambda_1\geq\lambda_2\geq\cdots\geq\lambda_k\geq 0$такой, что$\sum_j \lambda_j = r$. Учитывая раздел$(\lambda_1,\dots,\lambda_k)$, нарисуйте диаграмму Юнга следующим образом: (i) нарисуйте горизонтальный ряд$\lambda_1$коробки, (ii) нарисуйте горизонтальный ряд$\lambda_{j+1}$коробки, начиная слева под$j$бросать,$1\leq j<k$. Например, раздел$(2,1,1)$из$r=4$будет соответствовать схеме

Как упоминалось выше, каждая диаграмма с не более чем$n$строк соответствует неприводимому представлению$GL(n)$. Опять же, этот факт полезен, потому что$GL(n)$тесно связана со многими другими группами интересов в физике. Диаграмму Юнга можно рассматривать как эффективный способ отслеживать симметризацию тензорных индексов: после размещения тензорных индексов$i_1$через$i_r$в квадратах диаграммы Юнга соответствующие неприводимые тензоры симметричны (четны) относительно перестановок, сохраняющих строки, и антисимметричны (нечетны) относительно перестановок, сохраняющих столбцы. Существует общая формула для измерения размера$GL(n)$представление, помеченное диаграммой Юнга, но на практике размерность может быть вычислена более эффективно для низкого ранга с использованием правил разложения для тензорных произведений, которые будут объяснены сейчас.

Правила разложения тензорного произведения для$GL(n)$следуют из особого рода проблемы «обратного ветвления» для группы перестановок$S_r$. В итоге получаются следующие правила:

Позволять$L=(\lambda_1,\dots,\lambda_k)$и$M=(\mu_1,\dots,\mu_\ell)$быть двумя неприводимыми представлениями$GL(n)$, заданные их диаграммами Юнга.

1. Нарисуйте схемы, соответствующие$L$и$M$. На схеме для$M$, выберите отдельный символ для каждой строки (например,$a$для первого ряда,$b$для второго,$c$для третьего и т. д.) и напишите символ в каждом поле строки этого символа.
2. Найдите все способы, которыми$\mu_1$ $a$можно добавить к диаграмме Юнга$L$чтобы не было двух$a$появляются в том же столбце, и результирующий график является другой диаграммой Юнга (т. е. длина строк не возрастает).
3. Для каждой большей диаграммы Юнга, полученной выше, найдите все способы, которыми$\mu_2$ $b$можно размещать без двух в одном столбце вместе с дополнительным ограничением: при чтении добавленных символов справа налево, сверху вниз число$a$, которые были прочитаны, должны совпадать или превышать количество$b$которые появляются на любом шаге.
4. Повторите для$\mu_3$ $c$, тогда$\mu_4$ $d$и т. д., за исключением того, что теперь при наложении последнего ограничения, упомянутого на шаге 3, записанное количество$c$не может превышать количество$b$х (и др.).
5. Тензорное произведение$L\otimes M$разлагается в прямую сумму всех полученных таким образом диаграмм Юнга.

В качестве примера рассмотрим следующее тензорное произведение:

Чтобы разложить это, сначала мы пометим вторую диаграмму с$A$'песок$B$х:

Далее находим все способы добавления$A$блоки, а затем$B$блоков, к диаграмме Юнга$L$по вышеуказанным правилам:

$\rightarrow$

Обратите внимание, что диаграммы, подобные приведенным ниже, не допускаются:

Первые две диаграммы содержат два$A$в том же столбце, а последний не допускается, так как при чтении добавленных символов справа-слева сверху-снизу получаем$ABBA$, у которого больше$B$чем$A$после третьей буквы (это из правила, указанного в шаге 3).

Теперь оказывается, что все неприводимые представления$GL(n)$остаются неустранимыми, когда ограничиваются$SU(n)$. Однако некоторые представления о$GL(n)$которые ранее были различными, становятся изоморфными. Это происходит из-за того, что возможны два неприводимых представления$GL(n)$отличаться друг от друга только степенями детерминантного гомоморфизма:$\det(gh)=\det(g)\det(h)$. Когда определитель равен единице в$SU(n)$(или$SL(n)$если на то пошло) это различие исчезает, и представления, которые различались только по своей$\det(g)$изоморфны. К счастью, есть простой способ учесть эту избыточность:$SU(n)$, представления$(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$и$(\lambda_1+s,\dots,\lambda_n+s)$эквивалентны. Чтобы учесть избыточность, мы просто выбираем$s=-\lambda_n$и пометить представления$SU(n)$только с$n-1$невозрастающие целые числа вместо$n$. Следствием этого является то, что если$\lambda_1=\lambda_2=\dots=\lambda_n$, затем$[\lambda_1,\dots,\lambda_n]\cong[0,0,\dots,0]$: тензоры, соответствующие прямоугольным диаграммам Юнга, инвариантны относительно$SU(n)$. Чтобы найти кратность тривиального представления в тензорных произведениях, вы можете проверить из правил разложения, что каждое неприводимое представление$V$из$SU(n)$имеет единственное сопряжение$\bar V$такой, что$V\otimes\bar V$включает тривиальное представление.

Ссылки для дальнейшего чтения:

Теория групп и ее применение к физическим проблемам (Мортон Хамермеш): главы 7 и 10.

Теория представлений групп и приложений (А. Барут и Р. Рачка): главы 7 и 8.