Тензорное произведение двух различных матриц Паули σ2⊗η1σ2⊗η1\sigma_2\otimes\eta_1

Я решаю задачу 3.D в H. Georgi Lie Algebra и т. Д. Для развлечения, где нужно вычислить матричные элементы прямого произведения.$\sigma_2\otimes\eta_1$где$[\sigma_2]_{ij}\text{ and }[\eta_1]_{xy}$две разные матрицы Паули в двух разных двумерных пространствах.

Определение основы в нашем четырехмерном тензорном пространстве произведения

$$\tag{1}\left|1\right\rangle = \left|i=1\right\rangle\left|x=1\right\rangle\\ \left|2\right\rangle = \left|i=1\right\rangle\left|x=2\right\rangle\\ \left|3\right\rangle = \left|i=2\right\rangle\left|x=1\right\rangle\\ \left|4\right\rangle = \left|i=2\right\rangle\left|x=2\right\rangle$$

Теперь мы знаем, что когда мы умножаем представления, образующие складываются в смысле

$$\tag{2}[J_a^{1\otimes2}(g)]_{jyix} = [J_a^1]_{ji}\delta_{yx} +\delta_{ji}[J_a^2]_{yx},$$ где $J$s — образующие, соответствующие различным представлениям $D_1$и $D_2$( $g$обозначает групповые элементы).

Используя все это, я нахожу, что в основе$(1)$матричное представление тензорного произведения дается выражением

$$\tag{3}\sigma_2\otimes\eta_1 = \begin{pmatrix} 0 & \mathbf{1} & -i & 0 \\ 1 & 0 & 0 & -i \\ i & 0 & 0 & 1 \\ 0 & i & 1 & 0 \end{pmatrix}$$

(Жирным шрифтом$\mathbf{1}$это просто обозначения, см. ниже!) Я не прошу вас переделывать за меня расчеты, но делает$(3)$смысл?

Приложение. Мои расчеты были сделаны следующим образом [используя уравнение$(2)$]:

$$\tag{4}\langle 1| \sigma_2\otimes \eta_1 |1\rangle = \\ \langle j=1,y=1| \sigma_2\otimes \eta_1 |i=1,x=1\rangle \\ = [\sigma_2]_{11}\delta_{11}+\delta_{11}[\eta_1]_{11} \\ = 0.$$ Аналогично, например, $$\tag{5} \langle 1| \sigma_2\otimes \eta_1 |2\rangle = \\ \langle j=1,y=1| \sigma_2\otimes \eta_1 |i=1,x=2\rangle \\ = [\sigma_2]_{11}\delta_{12}+\delta_{11}[\eta_1]_{12} \\ = 1.$$ Вот так смелый $\mathbf{1}$был получен.

Таковы мои расчеты$(4), (5)$совсем неправильно?

Матрицы Паули

$$\begin{align} \sigma_1 &= \begin{pmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{pmatrix} \\ \sigma_2 &= \begin{pmatrix} 0&-i\\ i&0 \end{pmatrix} \\ \sigma_3 &= \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix} \,. \end{align}$$