Как понять отрицательную теплоемкость безмассового майорановского фермиона в одном измерении?

Question

Как понять отрицательную теплоемкость безмассового майорановского фермиона в одном измерении?

Физика
термодинамика
майорана-фермионы
квантовая статистика
квантовая теория поля
конформная теория поля

Юань Яо

Рассмотрим безмассовый майорановский фермион на кольце длины $L$ с периодическим граничным условием при температуре $T$ . Тогда расчет конформной теории поля говорит нам, что квантовая статистическая сумма этой единственной Майораны равна ( $k_\text{B}\equiv1$ )

\begin{array}{rcl} Z (Т, л) "=" х_{1 / 16} (т) х_{1 / 16}^{*} (т) |_{т "=" я / (л Т)}, \end{array}

$\begin{eqnarray} Z(T,L)=\chi_{1/16}(\tau)\chi^*_{1/16}(\tau)|_{\tau=i/(LT)}, \end{eqnarray}$ где

χ_{h} (τ)

$\chi_{h}(\tau)$ есть характер Вирасоро первичного поля с конформной размерностью

h

$h$ . Тогда, когда размер системы большой

L T ≫ 1

$LT\gg1$ , асимптотическое поведение статистической суммы

\begin{array}{rcl} Z (Т, л) & \approx & опыт {\frac{π л Т}{6} [с - 12 (час + \bar{час})]}, \end{array}

$\begin{eqnarray} Z(T,L)&\approx&\exp\left\{\frac{\pi LT}{6}[c-12(h+\bar{h})]\right\}, \end{eqnarray}$ где

h = \bar{h} = 1 / 16

$h=\bar{h}=1/16$ а именно самое низкое значение генераторов Вирасоро

L_{0}

$L_0$ и

{\bar{L}}_{0}

$\bar{L}_0$ безмассовой Майораны с центральным зарядом

c = 1 / 2

$c=1/2$ .

Следовательно, мы можем получить удельную теплоемкость на единицу длины как

\begin{array}{rcl} с_{в} & "=" & \frac{1}{л} Т \frac{\partial^{2}}{\partial Т^{2}} [Т п (Z (Т, л))] \\ "=" & \frac{π Т}{3} (с - 12 час - 12 \bar{час}) \\ "=" & - \frac{π Т}{3} \\ < & 0 (когда Т > 0) . \end{array}

$\begin{eqnarray} c_v&=&\frac{1}{L}T\frac{\partial^2}{\partial T^2}[T\ln(Z(T,L))]\\ &=&\frac{\pi T}{3}(c-12h-12\bar{h})\\ &=&-\frac{\pi T}{3}\\ &<&0\text{ (when $T>0$)}. \end{eqnarray}$ Мой вопрос заключается в том, как понимать эту отрицательную теплоемкость и означает ли это, что майорановский фермион вообще термически нестабилен при любой конечной температуре?

Ответы (1)

Как понять отрицательную теплоемкость безмассового майорановского фермиона в одном измерении?

Майк Стоун · Answer 1

Свободная энергия на единицу длины хирала $c=1$ Фермион Дирака, или некиральный $c=1/2$ безмассовая Майорана

β Ф / л "=" - \int_{- \infty}^{\infty} \frac{д к}{2 π} п (1 + е^{- β в_{ф} ℏ | к |}) "=" - \frac{1}{π β в_{ф} ℏ} \sum_{н "=" 1}^{\infty} (- 1)^{н + 1} \frac{1}{н^{2}} "=" - \frac{π}{12} \frac{1}{β в_{ф} ℏ}

$\beta F/L = -\int_{-\infty}^{\infty} \frac{dk}{2\pi} \ln(1+ e^{-\beta v_f \hbar |k|})\\ = - \frac{1}{\pi \beta v_f\hbar }\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n+1}\frac 1{n^2}\\ = - \frac {\pi }{12 }\frac1 {\beta v_f\hbar } \nonumber$

Для общего центрального заряда $c$ у нас есть

Ф / л "=" - \frac{π с}{6 β^{2} в_{Ф} ℏ}

$F/L= -\frac{\pi c}{6\beta^2 v_F \hbar}$ это отрицательно, но внутренняя энергия

⟨ Е ⟩ / л "=" \frac{\partial}{\partial β} (β Ф / л) "=" + \frac{π с}{6 β^{2} в_{Ф} ℏ} "=" \frac{π}{12 β^{2} в_{Ф} ℏ} "=" \frac{π к_{Б}^{2} Т^{2}}{12 в_{Ф} ℏ} .

$\langle E\rangle/L=\frac{\partial}{\partial \beta}(\beta F/L)= +\frac{\pi c}{6\beta^2 v_F \hbar}=\frac{\pi}{12\beta^2 v_F \hbar}= \frac{\pi k_B^2 T^2}{12 v_F \hbar}.$ Тогда удельная теплоемкость

(1 / л) \frac{\partial ⟨ Е ⟩}{\partial Т} "=" \frac{π с к_{Б}^{2} Т}{3 в_{Ф} ℏ} "=" \frac{π к_{Б}^{2} Т}{6 в_{Ф} ℏ}

$(1/L)\frac{\partial \langle E\rangle}{\partial T}=\frac{\pi c k_B^2 T}{3v_F \hbar}=\frac{\pi k_B^2 T}{6v_F \hbar}$ Это положительно и зависит только от

c

$c$ как это должно. Я не знаю, где вы берете вес

h

$h$ биты из. Я думаю, что есть дополнительные факторы, которые необходимо включить в выражение для термодинамической статистической суммы через характеры Вирасоро, но я слишком долго не работал над этим материалом, а моя копия Ди Франциско в моем недоступном офисе.

я получил $h$ и $\hbar$ из уравнения (21.115) в конспектах лекций Фрадкина: eduardo.physics.illinois.edu/phys583/ch21.pdf Затем, далее по уравнению (21.120) у меня был дополнительный член. Я также пытаюсь проверить свои выводы.
Я не уверен, но я предполагаю, что ваше первое уравнение могло бы быть вычислением свободной энергии фермиона в секторе Неве-Шварца (антипериодические граничные условия) (в котором функция Майораны имеет статистическую сумму как $|\chi_0+\chi_{1/2}|^2$ ). Может быть коррекция $(2*1/16)$ , в силу нормального упорядочения, на энергию Казимира $(-2*c/24)$ между сектором Невё-Шварц и сектором Рамон.
Вы хотите 21.114 Эдуардо с $l\to \beta = 1/kT$ чтобы получить мое выражение $f=F/L$ . Другие уравнения не учитывают температурные эффекты, поскольку они $T$ независимый. $L_0$ в $H$ также не имеют значения, равно как и энергия Казимира. $\epsilon_g$ в 21.20 опять же не зависит от температуры. Я не читал эту главу, хотя он прислал мне копию. Это книга, которая скоро будет опубликована.
Вы правы, и я действительно пропустил второстепенные члены в асимптотическом соотношении характеров Вирасоро, которое я только что проверил у Ди Франческо. После их рассмотрения чистый оставшийся вклад представляет собой только часть центрального заряда.

Как понять отрицательную теплоемкость безмассового майорановского фермиона в одном измерении?

Юань Яо

Ответы (1)

Майк Стоун

Юань Яо

Юань Яо

Майк Стоун

Юань Яо

В чем разница между энергией и температурой в теории поля?

S-матрица в N=4N=4\mathcal{N}=4 Супер-Янг Миллс

Тахионный вершинный оператор (книга Полчинского)

Почему корреляционная функция тензора энергии-импульса обращается в нуль подобно z−4z−4z^{-4} в двумерной КТП?

Масштабная инвариантность плюс унитарность подразумевает конформную инвариантность?

Каковы квантовые числа майорановских нейтрино?

Коммутационные соотношения образующих конформной группы

Что такое портальная шкала Хиггса?

Граничное условие, разложение по модам и статистическая сумма КТП со свободным фермионом на торе

Массивные возбуждения в конформной квантовой теории поля