В соответствии с теорией Ландау-Гинзбурга (ЛГ) мы записываем теорию (гамильтонову) со всеми возможными взаимодействиями/операторами (в терминах некоторого параметра порядка), которая соблюдает определенные симметрии. Основное состояние (которое зависит от настраиваемых связей/параметров в теории) может спонтанно частично нарушить часть симметрии, а поведение корреляционных функций (наблюдаемых) зависит от спектра флуктуаций относительно основного состояния. Итак, мы характеризуем основное состояние и спектр флуктуаций некоторым локальным параметром порядка , который говорит нам о качественном поведении системы (он же «фаза»).
Как понятие «топологический порядок» и «квантовые состояния материи при нулевой температуре» вписываются в эту картину материи и фаз? Я был бы признателен, если бы кто-то мог поместить это в контекст. Какие наблюдаемые мы используем для характеристики состояний/фаз? Речь идет о другом понимании тех же явлений, что и ЛГ, или же речь идет об объяснении совершенно других явлений? Если она имеет более широкий охват, чем LG, то вписывается ли LG каким-то образом в эту теорию? Есть ли здесь какой-то всеобъемлющий принцип, подобный моему описанию теории LG выше?
Топологический порядок не может быть описан в парадигме нарушения симметрии Гинзбурга-Ландау. На самом деле справедливо сказать, что топологический порядок — это более или менее свойства квантовых фаз (с промежутками), которые не могут быть захвачены GL. Один из способов определить его — использовать понятие адиабатической непрерывности: если две фазы вещества с щелью можно соединить адиабатическим изменением гамильтониана без закрытия щели, мы считаем их одной и той же фазой. Итак, мы занимаемся «гомотопической» теорией квантовых фаз в некотором смысле. Можно потребовать, чтобы разрешенные гамильтонианы, соединяющие разные фазы, сохраняли определенные симметрии, тогда можно получить уточненные понятия, такие как защищенные/обогащенные симметрией топологические фазы.
Вообще говоря, локальных параметров порядка не существует (иногда топологически упорядоченное состояние также нарушает некоторую симметрию, например симметрию обращения времени, но сам по себе этот факт не определяет топологический порядок). И часто топологически упорядоченные состояния не нарушают никаких микроскопических симметрий (например, квантовая спиновая жидкость на решетке).
На мой взгляд, два общих «принципа» топологического порядка: (1) эмерджентная калибровочная структура: обычно можно описать топологический порядок и их фазовые переходы, используя какую-то эмерджентную калибровочную теорию. (2) Структура запутанности. Если вы попросите математическую основу, то модульная теория тензорных категорий улавливает сущность двумерного топологического порядка абстрактным, но довольно мощным способом (вплоть до некоторых деталей физики границ).
Сяо-Ганг Вэнь