эффективная теория поля модели проективного семиона

Question

эффективная теория поля модели проективного семиона

Физика
конденсированное вещество
топологический порядок
топологическая фаза
Черн-Саймонс-теория
квантовая теория поля

Цзытао Ван

Модель «проективного семиона» рассмотрена в http://arxiv.org/abs/1403.6491 (стр. 2). Это топологическая фаза с обогащенной симметрией (SET). Есть один нетривиальный анион, семион $s$ который индуцирует фазовый фактор $\pi$ при обходе другого семиона. Киральный топологический порядок такой же, как $\nu = 1/2$ бозонное дробное квантовое состояние Холла, эффективная теория поля которого является $K = 2$ Теория Черна-Саймонса:

л "=" \frac{2}{4 π} ϵ^{мю ν λ} а_{мю} \partial_{ν} а_{λ}

$\begin{equation} \mathcal{L} = \frac{2}{4\pi}\epsilon^{\mu\nu\lambda}a_{\mu}\partial_{\nu}a_{\lambda} \end{equation}$

Группа симметрии для теории $G = \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$ . Мы обозначаем три нетривиальных групповых элемента как $g_x, g_y, g_z$ . Симметрия может действовать на семион следующим образом:

Каждый семион несет половину заряда для всех трех $\mathbb{Z}_2$ преобразования. Более того, три $\mathbb{Z}_2$ преобразования антикоммутируют друг с другом и могут быть представлены в виде $g_x = i\sigma_x, g_y = i\sigma_y, g_z = i\sigma_z$ .
Семион несет интегральный заряд под двумя из трех $\mathbb{Z}_2$ преобразования, а половина заряда под другим $\mathbb{Z}_2$ трансформация. Есть три варианта этого, и группу симметрии можно представить как $g_x = \sigma_x, g_y = \sigma_y, g_z = i\sigma_z$ , или $g_x = \sigma_x, g_y = i\sigma_y, g_z = \sigma_z$ , или $g_x = i\sigma_x, g_y = \sigma_y, g_z = \sigma_z$ .

Фрагментация симметрии в случае 1 не содержит аномалий, но аномальна в случае 2, как показано на http://arxiv.org/abs/1403.6491 .

Я хочу написать эффективное описание теории поля, чтобы описать паттерн фракционирования симметрии в случаях 1 и 2 на семионе. $a$ , и могу явно видеть, что теория поля, которую я записываю для случая 1, не содержит аномалий, тогда как теория для случая 2 содержит аномалии.

Один из возможных способов - измерить симметрию $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$ , и соедините калибровочные поля с семионом $a$ . Различные условия связи отражают разные способы представления симметрии в семионе. Я думаю, это то, что пытается описать уравнение (5) на странице 21 http://arxiv.org/abs/1404.3230 . Действие, которое они записали,

л "=" \frac{2}{4 π} ϵ^{мю ν λ} а_{мю} \partial_{ν} а_{λ} + \frac{п_{1}}{2 π} ϵ^{мю ν λ} а_{мю} \partial_{ν} А_{1 λ} + \frac{п_{2}}{2 π} ϵ^{мю ν λ} а_{мю} \partial_{ν} А_{2 λ} + \frac{п_{3}}{π^{2}} ϵ^{мю ν λ} а_{мю} А_{1 ν} А_{2 λ}

$\begin{equation} \mathcal{L} = \frac{2}{4\pi}\epsilon^{\mu\nu\lambda}a_{\mu}\partial_{\nu}a_{\lambda} + \frac{p_1}{2\pi}\epsilon^{\mu\nu\lambda}a_{\mu}\partial_{\nu}A_{1\lambda} + \frac{p_2}{2\pi}\epsilon^{\mu\nu\lambda}a_{\mu}\partial_{\nu}A_{2\lambda} + \frac{p_3}{\pi^2}\epsilon^{\mu\nu\lambda}a_{\mu}A_{1\nu}A_{2\lambda} \end{equation}$

Я могу понять второй и третий термины в этом действии, которое говорит (с $p_1=p_2=1$ ), что семион $a$ несет половинный заряд симметрии под двумя образующими (скажем, $g_x$ и $g_y$ ) из $\mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2$ .

Однако мне трудно понять последний член в действии, предположительно, он означает, что семион несет половинный заряд под всеми тремя элементами. $g_x,g_y,g_z$ в $\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$ . Если это правильно, то установка $p_1=p_2=0, p_3=1$ дает нам эффективное описание случая 1. Теория свободна от аномалий; в то время как установка $p_1=p_2=p_3=1$ дает нам эффективное описание случая 2 (семиона $a$ несет половину $g_x,g_y,g_z$ заряд с последнего срока и дополнительная половина $g_x,g_y$ заряд от второго и третьего члена), и теория аномальна. Это согласуется с утверждением на странице 24 http://arxiv.org/abs/1404.3230 .

Кто-нибудь знает, почему последний термин в $\mathcal{L}$ говорит, что семион несет половинный заряд под всеми тремя элементами $g_x,g_y,g_z$ в $\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$ ?

Ответы (1)

эффективная теория поля модели проективного семиона

Мэн Ченг · Answer 1

Мэн Ченг

Было бы полезно рассмотреть физический смысл термина $aA_1A_2$ в калибровочной теории. Компактизируйте теорию на «тонком» торе, скажем, длину $y$ направление $l_y$ намного меньше, чем $l_x$ . Два основных состояния различаются значением петли Вильсона вдоль $y$ . Эвристически мы можем просто заменить $a=0,\pi$ (с индексами неаккуратно...), а в семионном секторе получаем терм $A_1\wedge A_2$ в «размерно уменьшенном» $1+1$ теория. Как описано в http://arxiv.org/abs/1401.0740 , это непрерывная версия $1+1$ Теория Дейкграафа-Виттена $\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$ калибровочное поле и описать одномерный СПД, защищенный этой симметрией. Это означает, что семион является концом одномерного пространства. $\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$ SPT, несущий спин-1/2 (или линия Семиона Вильсона «украшена» цепочкой Холдейна). Однако, поскольку 1D SPT классифицируются по $H^2(G, U(1))$ , это неоднозначно в отношении конкретного класса в $H^2(G, Z_2)$ , о чем на самом деле ваш вопрос.

Таким образом, этот аргумент, безусловно, неудовлетворителен и на самом деле не касается вашего вопроса напрямую. Может быть, поможет теория краев и выяснение преобразования симметрии краевых мод?

Цзытао Ван

Спасибо! Да, я думаю, что уменьшение размерности — это хороший способ увидеть физику. Но я не уверен, что есть более прямой способ интерпретировать последний термин. В частности, меня смущает то, что на странице 22 статьи arxiv.org/abs/1404.3230 они оговаривают, что если мы рассмотрим

Z2×Z2 $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$ как возникающий из подгруппы

U( 1 ) × U( 1 ) $U(1) \times U(1)$ , то семион

а $a$ преобразуется под калибровкой

U( 1 ) × U( 1 ) $U(1) \times U(1)$ довольно причудливым образом

а → а -д1ф1гф22 π $a \rightarrow a-q_1f_1\frac{d\phi_2}{2\pi}$ . Мне это кажется чем-то искусственным, и у меня нет хорошей интуиции для этого.

Цзытао Ван

Также я не уверен в том, что вы имеете в виду, говоря о теории края. Эта теория живет на границе

3 + 1 $3+1$ г СПД, эффективным действием которого является действие ДГ

С4 $S_4$ на странице 23 сайта arxiv.org/abs/1404.3230. И граница границы должна исчезнуть.

Мэн Ченг

Если

п1"="п2= 0 $p_1=p_2=0$ теория свободна от аномалий и может быть реализована в 2D (фактически идеальным примером является киральная спиновая жидкость с

Z2×Z2 $Z_2\times Z_2$ симметрия является

π $\pi$ вращения вокруг

х , у, г $x,y,z$ оси). Так что нет проблем с разговором о теории границ. Только аномальные нуждаются в объемном 3D SPT для регуляризации. Что касается вопроса о калибровочной инвариантности, кажется, что

а → а -д1ф1А2 $a\rightarrow a - q_1f_1A_2$ просто постулируется, чтобы отменить изменение

аА1А2 $aA_1A_2$ . На самом деле, я не уверен, как действие инвариантно относительно калибровочного преобразования

а → а + гф $a\rightarrow a+df$ .

Цзытао Ван

При

а → а + гф $a \rightarrow a+df$ ,

п = 2 $n=2$ в нашем случае), потребовав, чтобы

гфя= пАя $d\phi_i = nA_i$ . И записывается в виде

п3( 2 π)2а дф1гф2 $\frac{p_3}{(2\pi)^2}ad\phi_1d\phi_2$ , очень легко видеть, что при

а → а + гф $a \rightarrow a+df$ , этот член вносит полную производную.

Мэн Ченг

я забыл

н $n$ в выражении. Это имеет большой смысл.

Цзытао Ван

Я думаю, что закон преобразования, который они постулируют

а → а -д1ф1гф22 π $a \rightarrow a -q_1f_1\frac{d\phi_2}{2\pi}$ при

U( 1 ) × U( 1 ) $U(1) \times U(1)$ тесно связано с тем, как

Z2×Z2 $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$ представлен на семионах. Если мы сможем понять,

а $a$ должно преобразовываться вот так, мы знаем, как

Z2×Z2 $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$ изображен на семионе.

Цзытао Ван

Также действует ли действие с

п1"="п2= 0 $p_1=p_2=0$ описать хиральную спиновую жидкость? Мы ожидаем этого, потому что он свободен от аномалий, а эффективное действие при

п1"="п2= 0 $p_1=p_2=0$ не содержит аномалий.

преобразования

а $a$ при

U( 1 ) × U( 1 ) $U(1) \times U(1)$ является своего рода конструкцией, делающей третий член сам по себе калибровочно-инвариантным (следовательно, свободным от аномалий).

Мэн Ченг

Действие хиральной спиновой жидкости можно записать с помощью

Сп1 $CP^1$ представительство:

24 πа да + v | ( я ∂− а − А ⋅ σ) г|2 $\frac{2}{4\pi}ada+v|(i\partial-a-\mathbf{A}\cdot \sigma)z|^2$ где

г= (г↑,г↓)Т $z=(z_\uparrow, z_\downarrow)^T$ , и

А $\mathbf{A}$ SO

СО ( 3 ) $SO(3)$ калибровочное поле, которое далее можно разбить на

Z2×Z2 $Z_2\times Z_2$ . Не уверен, как это может быть связано с

п3 $p_3$ срок...

Цзытао Ван

Спасибо! Возможно, можно ввести еще одно призрачное поле в поле Хиггса

СО ( 3 ) $SO(3)$ до

Z2×Z2 $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$ . Я постараюсь над этим поработать и посмотреть, есть ли смысл.

Цзытао Ван

Привет Мэн, я был немного смущен

Z2 $\mathbb{Z}_2$ коэффициент, входящий в групповые когомологии.

что проективные представления классифицируются

ЧАС2( Г , У( 1 ) ) $H^2(G,U(1))$ .

Мэн Ченг

Для дробления анионов по симметрии необходимо использовать в качестве коэффициентов группу абелевых анионов. На самом деле, в примере с проективным семионом случай 1 и случай 2, если рассматривать как

U( 1 ) $U(1)$ 2-коциклы когомологически эквивалентны. И мы знаем

ЧАС2(Z2, У( 1 ) ) = 0 $H^2(Z_2, U(1))=0$ , но семионы еще могут нести половину заряда

Z2 $Z_2$ потому что

ЧАС2(Z2,Z2) =Z2 $H^2(Z_2, Z_2)=Z_2$ . Причиной использования абелевых анионов в качестве коэффициентов является согласованность фракционирования с правилами слияния анионов, как объяснено в разд. IV arxiv.org/pdf/1410.4540.pdf .

Цзытао Ван

Есть ли способ определить фракционирование симметрии семиона в

2 + 1 $2+1$ d (класс в

ЧАС2(Z2×Z2,Z2) $H^2(\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2,\mathbb{Z}_2)$ ) из действия симметрии семиона на ребре размерно редуцированного

1 + 1 $1+1$ d SPT (в данном случае это довольно тривиально, потому что ребро спина 1/2 семиона несет половину заряда под

Z2 $\mathbb{Z}_2$ )? Думаю, математически мой вопрос эквивалентен вопросу о том, существует ли гомоморфизм из

Z2"="ЧАС2(Z2×Z2, У( 1 ) ) →ЧАС2(Z2×Z2,Z2) =Z32 $\mathbb{Z}_2=H^2(\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2,U(1))\rightarrow H^2(\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2,\mathbb{Z}_2)=\mathbb{Z}_2^3$ (Надеюсь, инъективный).

Мэн Ченг

Я так не думаю. Среди 8 классов в

ЧАС2(Z2×Z2,Z2) $H^2(Z_2\times Z_2, Z_2)$

отображаются в нетривиальный класс

ЧАС2(Z2×Z2, У( 1 ) ) $H^2(Z_2\times Z_2, U(1))$ . Я не вижу способа инвертировать сопоставление.

Цзытао Ван

что понимаю физику

аА1А2 $aA_1A_2$ сейчас. Сначала это действие соответствует коциклам типа III

ω ( А , В , С) = е Икс р ( я πа1б2с3) $\omega(A,B,C) = exp(i\pi a_1b_2c_3)$ в модели DW с

Z32 $\mathbb{Z}_2^3$ симметрия (стр. 10, таблица I в статье Ювена exp(i\pia_1b_2c_3)). Тогда статистика различных коциклов в

2 + 1 $2+1$ d Модель DW рассматривается в статье Ченджи (стр. 9 arxiv.org/abs/1412.1781 ). Статистика,

аА1А2 $aA_1A_2$ неабелева. В нем говорится, что после «борромео» плетения между

а ,А1,А2 $a,A_1,A_2$ потоков, получим фазу

Θ123= π $\Theta_{123}=\pi$ .

Цзытао Ван

Думаю в данном случае только

а дА1 $adA_1$ и

а дА2 $adA_2$ член вносит вклад во взаимную статистику

( а ,А1) $(a,A_1)$ ,

( а ,А2) $(a,A_2)$ . В нашем случае 2-й и 3-й члены говорят о том,

а $a$ несет половину

А1 $A_1$ и

А2 $A_2$ заряжать. Однако четвертый член

аА1А2 $aA_1A_2$ вносит вклад только в неабелеву статистику борромео-плетения и не вносит вклад во взаимную статистику

( а ,А1) $(a,A_1)$ ,

( а ,А2) $(a,A_2)$ . Итак, если у нас есть только 4-часовой член в действии (т.е.

п1"="п2= 0 ,п3= 1 $p_1=p_2=0, p_3=1$ ), мы не должны видеть никаких нетривиальных взаимных статистик

( а ,А1) $(a,A_1)$ ,

( а ,А2) $(a,A_2)$ . В частности, представление о том,

а $a$ несет половину

А1 $A_1$ ,

U( 1 ) × U( 1 ) $U(1)\times U(1)$ до

Z2×Z2 $Z_2\times Z_2$ .

Цзытао Ван

да я сделал. мой gtalk zwangab91@gmail.com.

Цзытао Ван

Это также моя учетная запись Skype. Возможно, мы могли бы договориться о времени, которое подходит нам обоим. Спасибо!