Что такое переход Костерлица-Таулесса?

Сценарий Березинского-Костерлица-Таулесса (БКТ) является одним из самых красивых переходов, который повсеместно встречается в двумерных системах (хотя он может также происходить в более высоких измерениях для определенных типов моделей), который неожиданно требует непертурбативных эффектов (т.е. топологических дефектов). быть реализованным. Чтобы понять всю суету (и нобелевскую премию) вокруг этого перехода, возможно, будет полезно немного контекста.

В равновесной статистической механике есть знаменитая теорема Мермина-Вагнера-Хохенберга-Коулмана , которая, по сути, говорит нам, что непрерывная симметрия не может спонтанно нарушиться ни при какой конечной температуре в двух измерениях или ниже. Это связано с тем, что моды Голдстоуна, генерируемые при нарушении непрерывной симметрии, имеют сильные флуктуации в$d=1,2$что приводит к восстановлению симметрии на больших расстояниях (для$T>0$).

Теперь для двумерной сверхтекучей жидкости или сверхпроводника соответствующий параметр порядка представляет собой комплексное скалярное поле.$\psi=|\psi|e^{i\phi}$с фазовым сдвигом$U(1)$симметрия. Таким образом, можно сразу представить, что 2d-переход в сверхпроводимость или сверхтекучесть никогда не произойдет при конечной температуре (и, следовательно, эти состояния никогда не будут существовать в термодинамическом пределе). Такой же вывод делается для ферромагнетика XY ($O(2)$классические спины на 2d-решетке) или 2d-нематический жидкий кристалл. Далее Костерлиц и Таулесс показали, что теорема верна в том смысле, что непрерывная симметрия не нарушается спонтанно при конечной температуре, но все же существует непрерывная симметрия.фазовый переход (с расходящейся корреляционной длиной) при некоторой конечной температуре в этих системах. Это важное открытие, так как до этого парадигма Ландау-Гинзбурга, используемая для описания непрерывных фазовых переходов и критических явлений, всегда связывала с переходом спонтанное нарушение симметрии (заметим, однако, что было достаточно хорошо известно, что переход первого рода не требует такого рода переходов). нарушение симметрии, сравните с обычным переходом жидкость-газ). Позже Поляков распространил этот сценарий на калибровочные теории (в надежде описать конфайнмент в КХД), что привело к очень хорошей работе, показывающей, например, что «компактная» КЭД 2+1 имеет щель в спектре в ИК-диапазоне из-за топологических возбуждений. ( Phys. Lett. B 59 , 1975 , Nucl. Phys. B 120, 1977 ) и СУ($N$) Модель Тирринга имеет фермионы, конденсирующиеся с конечной массой в ИК без нарушения киральной симметрии теории ( E. Witten, Nucl. Phys. B 145 , 1978 ). Он также был дополнительно расширен Д. Нельсоном и Б. Гальперином в контексте 2d-плавления кристаллических твердых тел ( Phys. Rev. B 19 , 1979 ), что привело к предсказанию новой жидкокристаллической гексатической фазы.

После этой очень длинной преамбулы давайте теперь посмотрим, что на самом деле представляет собой переход. Простейшей моделью, демонстрирующей переход БКТ, является модель XY. Рассмотрим двумерную решетку с единичными двумерными векторами в каждом узле. Каждый вектор$\vec{S}_i$(на месте '$i$') нахождение в плоскости определяется одним углом$\theta_i$

$$\vec{S}_i=(\cos\theta_i,\sin\theta_i)$$ Модель теперь определяется гамильтонианом системы, который включает взаимодействия ближайших соседей, которые предпочитают выравниваться рядом со спинами. В отсутствие внешнего поля имеем $$\begin{align} \beta\mathcal{H}&=-\dfrac{J}{k_B T}\sum_{\langle i,j\rangle}\vec{S}_i\cdot\vec{S}_j\\ &=-\dfrac{J}{k_B T}\sum_{\langle i,j\rangle}\cos(\theta_i-\theta_j) \end{align}$$ куда$J>0$– константа связи взаимодействия. Теперь при низких температурах, поскольку флуктуации углов будут небольшими на больших расстояниях, мы принимаем континуальный предел решеточной модели, предполагая, что поле углов медленно меняется. Поэтому писать$\theta_i-\theta_j=a\nabla\theta(x)\cdot\hat{e}_{ij}+O(a^2)$, куда$a\rightarrow0$- шаг решетки и$\hat{e}_{ij}$- единичный вектор вдоль узлов соединения решеточных связей$i$а также$j$, мы получаем $$\beta\mathcal{H}_{\mathrm{cont.}}=\dfrac{\beta J}{2}\int\mathrm{d}^2x\ |\nabla\theta|^2$$ При небольших колебаниях ($\theta\ll 1$), дело в том, что$\theta(x)$является угловой переменной, не имеет значения, что позволяет нам вычислить двухточечную корреляционную функцию, поскольку статистическая сумма задается интегралом Гаусса. $$\langle|\theta(q)|^2\rangle=\dfrac{k_B T}{J\ q^2}$$ Обратное преобразование Фурье дает нам $$\begin{gather} \langle\theta(x)^2\rangle=\dfrac{k_B T}{2\pi J}\ln\left(\dfrac{L}{a}\right)\\ \langle[\theta(x)-\theta(0)]^2\rangle=\dfrac{k_B T}{2\pi J}\ln\left(\dfrac{x}{a}\right) \end{gather}$$ $L$размер системы (ИК-отсечка) и$a$шаг решетки (УФ-отсечка). Следовательно, как$L\rightarrow\infty$,$\langle\vec{S}(x)\rangle=0$подразумевая отсутствие дальнего порядка и $$\langle\vec{S}(x)\cdot\vec{S}(0)\rangle=\left(\dfrac{x}{a}\right)^{-\frac{k_BT}{2\pi J}}$$ Двухточечная корреляция спина стремится к 0, когда$x\rightarrow\infty$что означает отсутствие дальнего порядка (это еще раз просто теорема Мермина-Вагнера), хотя распад очень медленный. Это степенной закон, зависящий от температуры , вместо обычного экспоненциального затухания (с конечной длиной корреляции), ожидаемого для неупорядоченной фазы. Таким образом, низкотемпературная фаза модели XY имеет то, что называется квазидальним порядком (QLRO) с бесконечной длиной корреляции ($\xi=\infty$). Поскольку можно показать, что дополнительные нелинейности, возникающие из-за градиентного расширения, не имеют значения на больших расстояниях (в смысле РГ), можно сразу же поверить, что этот степенной закон затухания сохраняется для всех температур. Это явно неверно, поскольку здравый смысл (а также высокотемпературные петлевые расширения модели решетки) подсказывает нам, что при высоких температурах взаимодействие не имеет значения, оставляя каждый спин практически независимым и случайным, что приводит к декорреляции на нескольких шагах решетки.

Затем разрешение достигается замечанием, что если забыть об угловой природе$\theta(x)$, континуальная гауссовская теория «спиновых волн» не учитывает накрутки углового фазового поля от$0$к$2\pi$. Их называют вихрями (и антивихрями), и они соответствуют топологическим дефектам в$\theta(x)$поле (которое тогда не определяется в ядре дефекта). Это вполне разумные конфигурации на решетке, континуальный предел которых соответствует точечным сингулярностям в поле углов. Обратите внимание, что эти конфигурации никогда не появляются в пертурбативном градиентном разложении и, следовательно, непертурбативны по своей природе. На уровне континуума вихрь представляет собой сингулярное решение уравнения Эйлера-Лагранжа.

$$\nabla^2\theta=0\\ \oint_{\Gamma}\mathrm{d}s\cdot\nabla\theta=2\pi q$$ куда$\Gamma$представляет собой замкнутый цикл, охватывающий начало координат и$q$— целочисленный «заряд» вихря. Это в основном говорит о том, что когда вы проходите один раз вокруг начала координат, фазовое поле$\theta$идет от$0$к$2\pi q$(что то же самое, что$0$для периодической функции как$q$является целым числом). Теперь для одного такого дефекта имеем$|\nabla\theta|=q/r$($r$являясь радиальной координатой), мы можем вычислить его энергию как $$E_q=\pi J q^2\ln\left(\dfrac{L}{a}\right)$$ которая логарифмически расходится в термодинамическом пределе. Следовательно, одиночные дефекты никогда не возбуждаются, но пары дефектов с противоположными зарядами (диполи) имеют конечную энергию и могут быть возбуждены при конечной температуре. Если временно пренебречь взаимодействием, то существует очень простой махающий рукой аргумент в пользу существования фазового перехода. Энергия одиночного свободного дефекта расходится, но при конечном$T$нужно смотреть на свободную энергию, которая также включает энтропийные вклады. Количество способов одиночного дефекта размера$\sim a^2$можно разместить в районе$L^2$примерно$(L/a)^2$. взяв логарифм, чтобы получить энтропию, мы имеем для свободной энергии $$F=E_q-TS=(\pi J q^2-2 k_B T)\ln\left(\dfrac{L}{a}\right)$$ Поскольку возбуждения с наименьшим зарядом соответствуют$q=1$, у нас есть для$T>T_c=\pi J/(2 k_B)$свободная энергия становится отрицательной, что означает размножение свободных дефектов в системе по мере того, как энтропия побеждает энергетику дефектов. Включение взаимодействий дефектов не меняет этой картины (даже$T_c$остается такой же). В$T=T_c$, получается универсальный степенной закон затухания (с точностью до логарифмических поправок) $$\langle\vec{S}(x)\cdot\vec{S}(0)\rangle=\left(\dfrac{x}{a}\right)^{-\eta}$$ с$\eta(T_c)=1/4$. Выше$T_c$, имеем конечную длину корреляции ($\langle\vec{S}(x)\cdot\vec{S}(0)\rangle\sim e^{-x/\xi}$), который экспоненциально быстро расходится по мере приближения к форме перехода, описанной выше.

Итак, здесь мы имеем модель, в которой и низкотемпературная, и высокотемпературная фазы разупорядочены, но фазовый переход имеет место при конечном$T$что включает в себя пролиферацию и несвязывание пар топологических дефектов. Если рассматривать дефекты как электрические заряды, то тогда происходит переход от изолирующей низкотемпературной фазы к проводящей плазме со свободно движущимися ионами при более высокой температуре.

Простейшая модель, имеющая КТ-переход, — это классическая модель XY в 2D, состоящая из плоских классических спинов (то есть двумерных стрелок) на квадратной решетке, которые взаимодействуют таким образом, что хотят выровняться со своими соседями. .

При нулевой температуре состояниями, минимизирующими энергию системы, являются ферромагнитные состояния, то есть все, стрелки указывают в одном направлении. Однако таких состояний существует бесконечное число, так как при такой конфигурации (скажем, все спины направлены в направлении «х») можно повернуть все спины на произвольный угол, и система по-прежнему имеет минимальную энергию возможно по симметрии. Это означает, что можно создавать возбуждения с произвольно малой энергией (были бы моды Голдстоуна, если бы система была действительно упорядоченной).

При конечной, но малой температуре эти низкоэнергетические возбуждения разрушают порядок (выравнивание спинов) в соответствии с теоремой Мермина-Вагнера. Однако можно показать, что система тем не менее имеет дальнодействующие корреляции (затухающие алгебраически) из-за этих же низкоэнергетических возбуждений. Этому анализу (называемому спин-волновым анализом) нельзя доверять при очень высоких температурах, когда мы ожидаем, что система полностью неупорядочена с короткодействующими корреляциями.

Чего не хватает в спин-волновом анализе, так это возможности вихрей, то есть возможности того, что при движении по замкнутому контуру на решетке углы спинов в посещенных узлах решетки складываются в кратные$2\pi$, см. рисунок.

Эти вихри представляют собой высокоэнергетические спиновые возбуждения, но они оказываются очень важными для понимания перехода от дальнодействующей корреляции при низкой температуре к короткодействующей корреляции при высокой температуре. Кроме того, они называются топологическими возбуждениями, потому что нельзя отменить вихрь, локально изменив ориентацию спинов (то есть, если вы просто решите повернуть спин на некоторый угол, вихрь все еще будет там). Единственный способ уничтожить вихри — уничтожить вихрь антивихрем (вихрем, вращающимся в противоположном направлении). Их создание идет также парами.

Мы знаем, что у нас есть все ингредиенты. При низкой температуре пар вихрь-антивихрь очень мало, так как для их создания требуется много энергии, и они, как правило, остаются очень близко друг к другу (они ограничены). Подобно тому, как электрический диполь просто нейтрален, если смотреть издалека, эти связанные пары не сильно влияют на корреляции на большом расстоянии, и они все еще дальние.

Однако по мере повышения температуры создается все больше и больше пар, а расстояние между вихрями и антивихрями увеличивается все дальше и дальше друг от друга, пока не происходит непрошеный переход: все вихри и антивихри свободны в движении, что разрушает корреляции между слишком дальние спины.

Это переход Костерлица-Таулесса.