Как постоянная тяга позволяет избежать накопления квадратичной кинетической энергии?

Заранее извиняюсь, но сначала я усугублю проблему, чтобы объяснить ее:

Представьте, что вместо того, чтобы измерять скорость от станции, с которой стартует ракета, — назовем ее станцией А, — вы измеряете скорость от станции Б, которая удаляется от станции А с какой-то большой скоростью. И представьте, что станция А запускает две одинаковые ракеты, одну к вам и одну от вас.

Поскольку мы работаем в соответствии с хорошо проверенной современной специальной теорией относительности, мы понимаем, что можем сказать либо «В удаляется от А», либо с одинаковой точностью «А удаляется от В», поскольку мы можем объявить любое из них как «неподвижный» для целей измерения скоростей относительно выбранной нами системы координат. Итак, давайте начнем сначала и скажем, что Станция А движется со скоростью от Станции Б и запускает две ракеты.

Конечно, перед запуском из точки А обе ракеты будут иметь определенную кинетическую энергию, основанную на их движении, и эта энергия будет одинаковой для двух одинаковых ракет. Однако когда мы их запускаем, ситуация начинает меняться: один из них начинает удаляться от нас еще быстрее, а другой начинает удаляться от нас медленнее. Действительно, через некоторое время один из них будет удаляться от нас с удвоенной скоростью, которая была у него изначально, то есть с четырехкратной кинетической энергией, в то время как другой будет удаляться от нас с нулевой относительной скоростью: никакой кинетической скорости. энергия какая угодно! Теперь мы действительно запутались, потому что обе ракеты сделали одно и то же, но одна из них получила очень высокую кинетическую энергию, а другая вообще не имела энергии.

Проблема, которую я надеюсь подчеркнуть на этом примере, заключается в том, что кинетическая энергия зависит от системы отсчета, а не является внутренней энергией объекта. Вот почему вы можете безопасно ехать в автомобиле, движущемся со скоростью 100 км/ч по дороге, но не быть безопасно сбитым автомобилем, движущимся по дороге со скоростью 100 км/ч; если вы путешествуете с автомобилем, у него нулевая кинетическая энергия в вашем теле, но если вы стоите на дороге, у него очень высокая кинетическая энергия в вашем теле. Кинетическая энергия относительна.

С другой стороны, я сказал ранее, что две ракеты делают «одно и то же», но в любой конкретной системе отсчета это не совсем так. Очевидно, что в моем примере выше из кадра станции Б одна ракета теряет кинетическую энергию, а другая, например, набирает кинетическую энергию. Но это касается только самих ракет: они движутся, запуская фотоны в другом направлении, и эти фотоны сами выбрасываются с определенной энергией. Если бы вы измерили энергию самих фотонов (прикрепив небольшое зеркало к задней части ракеты, направляющейся к вам, чтобы вы могли видеть «выхлоп»энергичный. Другими словами, фотоны, запущенные к вам, обладают меньшей энергией, чем фотоны, запущенные от вас... к такому же выводу мы пришли, когда запускали сами ракеты со Станции А, и опять-таки это следствие относительности кинетической энергии. Но на этот раз мы можем более прямо сказать, что один имеет «красное смещение», а другой — «синее».

РЕДАКТИРОВАТЬ: Также может быть проще представить решение, если вы используете обычный реактивный двигатель с массивным выхлопом. Выхлоп имеет малую массу, но уходит на высокой скорости; ракета имеет большую массу и, следовательно, получает меньшую скорость от реакции. Кинетическая энергия увеличивается на одинаковую величину в противоположных направлениях для каждого тела массы (принимая весь выхлоп за «тело»), иначе мы откуда-то получаем энергию бесплатно. Кроме того, поскольку массивный выхлоп имеет подсознательную скорость выброса, у вас может быть случай, когда ракета ускоряется от вас, но выхлоп также удаляется от вас, что невозможно с фотонными двигателями. Но во всех случаях, фотоны или нет, полная энергия системысохраняется: при измерении в инерциальной системе координат ракета «приобретает» столько же энергии, сколько «теряет» выхлоп, а измеренная скорость обмена действительно увеличивается квадратично.

TL;DR:

По мере того, как ракета летит быстрее, испускаемые фотоны несут меньше энергии в системе покоя. Это означает, что ракете доступно больше энергии. Показано, что сохранение энергии и импульса дает именно тот результат, который мы ожидаем, даже в классическом низкоскоростном пределе.

Чтобы понять, что происходит, нам нужно рассмотреть, что происходит с импульсом и энергией ракеты и фотонов.

Без ограничения общности можно предположить, что испускаемые фотоны имеют синий цвет в системе отсчета ракеты — это упрощает описание.

Когда ракета движется медленно, фотоны все еще выглядят голубыми в системе отсчета неподвижного наблюдателя: кажется, что они несут всю энергию. По мере ускорения ракеты фотоны будут смещаться доплеровски и становиться «краснее» — они уносят меньше энергии после взаимодействия с ракетой. Таким образом, при том же количестве фотонов в единицу времени ракета испытывает ту же тягу, но (в стационарной системе отсчета) это приводит к большему увеличению энергии, поскольку фотоны имеют меньшую энергию.

Математически, если мы испускаем$N$фотоны длины волны$\lambda_0$за короткий промежуток времени, то для ракеты массой$m$со скоростью$v$полное изменение импульса равно

Прирост энергии ракеты

Энергия фотонов (с доплеровским сдвигом) равна (в нерелятивистском приближении)

А энергия есть

Как видите, сумма этой энергии плюс энергия, полученная ракетой, постоянна — чем быстрее ракета летит, тем фотоны уносятся$N\frac{hv}{\lambda_0}$меньше энергии - а это как раз та энергия, которую набрала ракета.

Если ракета достигает релятивистских скоростей, расчет усложняется, но вывод тот же. Правильный расчет также не будет игнорировать потерю массы ракеты из-за испускаемой энергии, но опять же это не умаляет основополагающего принципа.

Ваш анализ игнорирует специальную теорию относительности; это нормально, пока скорость не достигнет сколько-нибудь значительной доли скорости света. Соответствующей мерой является фактор Лоренца, который едва ли можно измерить при обычных скоростях, но$\gamma =1.001$в$v=0.05 c$; увеличивается до$\gamma =1.033$в$v=0.25 c$, и становится значимым с$\gamma =1.250$к$v=0.6 c$.

Это означает, что для прибавления к энергии необходимо обеспечивать все возрастающую мощность, и эта мощность должна обеспечиваться лазером. Следовательно, линейная модель, которую вы предложили, не может быть расширена за определенный уровень из-за относительности.

Для получения дополнительной информации о факторе Лоренца см. https://en.wikipedia.org/wiki/Lorentz_factor .

Тот же самый лазерный «двигатель», кажется, становится все более и более «эффективным» (с течением времени производя все больше накапливаемой кинетической энергии).

Это не характерно для двигателей на основе лазера; увеличение скорости изменения кинетической энергии верно и для ракет с химическим двигателем.

Причина, по которой это кажется странным или даже «парадоксальным», заключается в том, что забывают, что часть высвобождаемой энергии забирается выхлопными газами. В самом деле, сразу после того, как ракета начала движение, большая часть выделяемой энергии в единицу времени уносится выхлопными газами, энергия ракеты изменяется на величину, составляющую лишь малую часть всей выделяемой энергии. Таким образом, хотя потеря массы оказывает незначительное влияние на массу ракеты, вначале она забирает почти всю энергию.

В дальнейшем, по мере того, как ракета приобретает все большую скорость, скорость выхлопных газов в системе Земли становится все меньше и меньше, поэтому выхлопные газы забирают все меньше и меньше энергии в единицу времени. Это означает изменение баланса в пользу ракеты, которая получает все большую долю выделяемой энергии в единицу времени.

Когда оба увеличения энергии в единицу времени, энергии ракеты и энергии выхлопных газов, суммируются, эта сумма равняется энергии, выделяемой из топлива в единицу времени.

Если предположить, что ракетный двигатель работает одинаково в начале и через 10 минут, энергия, выделяемая в секунду, постоянна; обозначим его через$P$. Сохранение энергии подразумевает

где первый член дает изменение кинетической энергии ракеты от скорости$v$во время$\Delta t$и второй срок$\Delta E_w$изменение энергии выхлопных газов во времени$\Delta t$.

Поскольку сила тяги и масса ракеты также предполагаются постоянными (действительно на ранней стадии полета, когда сгорает лишь небольшой процент топлива), скорость ракеты является линейной функцией времени, а ее кинетическая энергия является квадратичной функцией времени. как вы написали так изменение кинетической энергии увеличивается во времени$\Delta t$увеличивается.

Поскольку левая часть приведенного выше уравнения постоянна во времени, а член кинетической энергии увеличивается во времени, наступает момент, когда$\Delta E_w$становится отрицательным. Что это значит? Это означает, что топливо, которое становится выхлопным газом, уменьшает его кинетическую энергию. Это возможно потому, что в этой точке топливо движется с большой скоростью и, сгорая и выбрасываясь в направлении, противоположном скорости ракеты, замедляет его. Это происходит примерно, когда скорость ракеты превышает половину скорости выхлопных газов относительно сопла.

Я не думаю, что лазерный двигатель будет работать настолько, чтобы создавать линейное увеличение скорости со временем в течение любого продолжительного периода времени. Я думаю, что это невозможно - энергосбережение не позволит. Я считаю, что скорость увеличения скорости будет постепенно замедляться.

Дело не в том, что лазер с постоянной тягой потенциально не мог бы этого добиться, просто для этого потребовалось бы квадратичное увеличение потребляемой мощности. Это аналогично ускорению автомобиля и тому, как потребление топлива в основном прямолинейно связано с кинетической энергией, поскольку сила применяется на все большие расстояния. Скорость - это результат.

Кинетическая энергия по своей сути несовместима с классической механикой, поскольку она существует рука об руку с относительным временем, а без относительного времени кинетическая энергия не возникает. Ошибка физики 19-го века в том, что она пошла дальше и построила модель, в которой кинетическая энергия существовала наряду с абсолютным временем, а не полностью учитывала, что время может быть относительным.

Но сегодня нам не нужно повторять неудачи предыдущих времен. Любое обсуждение кинетической энергии, классической кинетической энергии, в котором не упоминается относительное время, в лучшем случае неполно.

Время замедляется в основном по квадратичному закону при малых скоростях. Время буквально течет медленнее для объекта, движущегося с классической скоростью, на величину, квадратичную с увеличением скорости.

Этот квадратик есть этот квадратик.

См. https://www.quora.com/Since-time-is-relative-how-much-time-has-passed-for-Voyager-1-in-comparison-to-Earth для отличного примера этого. Симметрии специальной теории относительности таковы, что этот очень реальный эффект расширения часто может быть потерян в мелочах деталей математической системы отсчета. Но больше всего меня интересует то, что связывает различные системы отсчета, и модель в моей голове состоит в том, что связью является относительная скорость течения времени.

Я верю, что время реально, и что оно реально в том смысле, что оно действительно проходит. А движение электромагнитного излучения само по себе является сущностью течения времени. Это неортодоксальная точка зрения - возможно, достойная того, чтобы возвысить меня до статуса чудака, - но я убежден в ней, и для меня совершенно очевидно, что квадрат кинетической энергии на самом деле представляет собой очень небольшое замедление времени, происходящее при этом прохождении. времени.

Так и должно быть, поскольку бесконечно малое ускорение инвариантно к скорости света. Только посредством изменения относительной скорости течения времени можно понять инвариантные представления ускоряющегося объекта о скорости света как до, так и после ускорения.

Квадратичность кинетической энергии не объясняется доплеровским красным смещением. Этот эффект является линейным по отношению к скорости и исчезает, когда относительная скорость объекта возвращается к нулю, без учета квадратичной передачи энергии. Этот эффект является естественным партнером второго члена в преобразовании времени Лоренца.

И наоборот, квадратичное увеличение энергии, которое соответствует тому же увеличению линейной скорости, связанному с Допплером, на самом деле является «реальным» в том смысле, что энергия должна передаваться или учитываться, когда достигнутая относительная скорость снова отрицается. Квадратичный корень укоренен в преобразовании Лоренца для первого члена времени — гаммы.

См., в частности, этот комментарий к другому ответу автора этого самого вопроса для контекста того, что мы действительно преследуем здесь:

Чтобы сфокусировать вопрос немного больше: предположим, что ракета стартует на некотором расстоянии от Станции А, в покое друг относительно друга. После T секунд постоянного ускорения ракета сталкивается со станцией A, и ее кинетическая энергия высвобождается, так что это не просто теоретическое. Количество KE в точке удара, по-видимому, увеличивается квадратично со временем ускорения, хотя оно производится фотонным двигателем постоянной мощности, чья входная/выходная энергия увеличивается линейно со временем ускорения. Все это при крошечных скоростях с незначительными релятивистскими эффектами. - Зеф

Квадратичный не объясняется допплеровским, он объясняется замедлением времени. Насколько мне известно, эмпирически доказано, что замедление времени реально существует.

Это будет работать только в том случае, если для приложения силы на постоянно увеличивающихся расстояниях, на которых происходит ускорение, расходуется квадратично увеличивающееся количество топлива, что соответствует постоянно увеличивающемуся количеству точек в пространстве, над которыми накапливается бесконечно малое количество замедления времени.