Как преобразование симметрии действует на квантовые поля

Question

Как преобразование симметрии действует на квантовые поля

ГалуаФан

Я изучаю физику элементарных частиц и, наконец, устал продираться через КТП с надоедливыми сомнениями, которые кажутся одновременно и очень простыми, и фундаментально важными, и на которые несколько моих профессоров не смогли дать должных (и согласованных друг с другом) ответов. Итак, простите, если вопрос глупый, и знайте, что я в курсе, что на этот вопрос уже отвечали, наверное, десятки раз, например здесь .

Итак, предположим, что мы рассматриваем некоторую группу симметрии (Ли) $G$ , чьи абстрактные элементы $g$ действовать в нашем гильбертовом пространстве через представление $U(g)$ . Если мы хотим, чтобы преобразования сохраняли вероятности, представление должно быть (проективно) (анти)унитарным. Теперь, как эти преобразования действуют на наши поля и состояния? Вопрос звучит очень глупо, учитывая, что само представление определено так, чтобы делать то, что касается моего вопроса в смысле «что оно делает», но меня смущают три ситуации:

(i) Преобразования действуют так же, как в классическом сценарии, но с полями, преобразованными в операторы, то есть (операторные) поля преобразуются как: $\phi \to U(g)\phi$ . Тогда оказывается, что мы используем результат, что это должно быть возможно представлено унитарным преобразованием подобия, и пишем

ф \to U (г) ф "=" U^{' †} (г) ф U^{'} (г) .

$\begin{equation} \phi \to U(g)\phi=U'^{\dagger}(g)\phi U'(g). \end{equation}$

Теперь представление (основа) $\{T_a\}_a$ алгебры $\mathfrak{g}$ определяет через экспоненциальную карту представление группы, и если у нас есть представление, которое мы хотим, мы пишем

ф \to е^{я α_{а} Т_{а}} ф "=" е^{- я α_{а} Т_{а}^{'}} ф е^{я α_{а} Т_{а}^{'}},

$\begin{equation} \phi \to e^{i\alpha_aT_a}\phi=e^{-i\alpha_aT_a'}\phi e^{i\alpha_aT_a'}, \end{equation}$

где множество $\alpha_a$ относится один к одному $g\in G$ . Я знаю, что это описание очень схематично, но, надеюсь, понятно. Теперь какая связь между $T_a$ и $T'_a$ -- если он есть и это не просто то, что работает в каких-то конкретных случаях, ибо $U(1)$ , например, и почему первичные преобразования $U$ также быть записаны как экспоненты? И правильно ли рассуждение, которое я сделал для равенства в первом уравнении, или причина и следствие не существуют?

(ii) Преобразования действуют как

{\begin{cases} | ψ ⟩ \to U | ψ ⟩, \\ ф \to U ф U^{- 1} \end{cases}

$\begin{cases} \left |\psi \right> \to U \left |\psi \right>, \\ \phi \to U\phi U^{-1} \end{cases}$

сохранение ожидаемых значений. Это, конечно, просто старая замена базиса линейной алгебры. Я почти уверен, что это не то, как действуют преобразования внутренней симметрии, и здесь нет особых сомнений.

(iii) Преобразование действует прямо, как и следовало ожидать в картине Гейзенберга (в которой мы работаем), оставляя состояния в покое и изменяя поля на

ф \to U^{†} (г) ф U (г) "=" е^{- я α_{а} Т_{а}} ф е^{я α_{а} Т_{а}} .

$\begin{equation} \phi \to U^{\dagger}(g)\phi U(g)=e^{-i\alpha_aT_a}\phi e^{i\alpha_aT_a}. \end{equation}$

Это то утверждение, которое я считаю наиболее верным, но все же я спрашиваю:

Если это так, что не так с представленным в (i) ? И я был бы безмерно признателен, если бы можно было сделать краткое изложение формальных аспектов трех «дел».

СлучайныйПреобразование Фурье

связанный: связь между зарядом Нётер и генератором симметрии U (1) .

Ответы (1)

Как преобразование симметрии действует на квантовые поля

связанный: связь между зарядом Нётер и генератором симметрии U (1) .

Кнчжоу · Answer 1

Похоже, что в этом вопросе есть несколько независимых путаниц, поэтому, возможно, поможет полный пример. Рассмотрим комплексное скалярное поле в теории с $U(1)$ симметрия

ф \to е^{я θ} ф

$\phi \to e^{i \theta} \phi$ где я подавляю

x

$x$ координировать. Действительно, симметрия в квантовом случае просто

\hat{ф} \to е^{я θ} \hat{ф} .

$\hat{\phi} \to e^{i \theta} \hat{\phi}.$ Однако мы можем захотеть узнать, как операторы симметрии действуют на состояния, и для этого нам придется потрудиться. По теореме Нётер сохраняющийся ток равен

{Дж}^{мю} "=" я (ф \partial^{мю} ф^{*} - ф^{*} \partial^{мю} ф) .

$j^\mu = i \, (\phi \partial^\mu \phi^* - \phi^* \partial^\mu \phi).$ Сохраняющийся заряд равен

Вопрос "=" я \int д Икс (ф {\dot{ф}}^{*} - ф^{*} \dot{ф}) .

$Q = i \int d\mathbf{x} \, (\phi \dot{\phi}^* - \phi^* \dot{\phi}).$ Когда мы переходим к квантовой теории поля,

ϕ

$\phi$ Тут просто стать полевыми операторами.

Теперь сохраняющийся заряд всегда порождает симметрию, то есть

U (е^{я θ}) "=" е^{я θ Вопрос} .

$U(e^{i \theta}) = e^{i \theta Q}.$ Это не что-то чуждое или неожиданное; это происходит даже в гамильтоновой механике, где сохраняющиеся заряды являются производящими функциями для соответствующих симметрий. Симметрия действует на состояния напрямую, а на поля сопряжением.

\hat{ф} \to е^{я θ Вопрос} \hat{ф} е^{- я θ Вопрос}, | в ⟩ \to е^{я θ Вопрос} | в ⟩ .

$\hat{\phi} \to e^{i \theta Q} \hat{\phi} e^{-i\theta Q}, \quad |v \rangle \to e^{i \theta Q} |v\rangle.$ Конечно, в практической ситуации вы не будете делать оба этих преобразования, вы будете делать одно или другое в зависимости от того, мыслите ли вы картиной Шредингера или Гейзенберга. Как вы сказали в пункте (ii), выполнение обоих действий недопустимо. Весь смысл симметрии состоит в том, чтобы связать различные ожидаемые значения друг с другом, а не переписать одно из них причудливым образом. Если вы запутались в этом вопросе, вспомните более простой случай, такой как вращательная симметрия атома водорода. Здесь мы не делаем ничего принципиально другого.

В случае бесконечно малой симметрии имеем

\hat{ф} \to \hat{ф} + я θ Вопрос \hat{ф} - я θ \hat{ф} Вопрос

$\hat{\phi} \to \hat{\phi} + i \theta Q \hat{\phi} - i \theta \hat{\phi} Q$ на первый заказ в

θ

$\theta$ , что значит

дельта \hat{ф} "=" я θ [Вопрос, \hat{ф}] .

$\delta \hat{\phi} = i \theta \, [Q, \hat{\phi}].$ Таким образом, вы иногда будете слышать утверждение «операторы [симметрии] действуют на операторы коммутаторами». Опять же, это не незнакомо; вы уже видели это в гамильтоновой механике, но со скобкой Пуассона вместо коммутатора.

Ранее я сказал $\hat{\phi} \to e^{i \theta} \hat{\phi}$ , что подразумевает

дельта \hat{ф} "=" я θ \hat{ф} .

$\delta \hat{\phi} = i \theta \, \hat{\phi}.$ Согласуются ли эти два утверждения? Да. Все, что вам нужно сделать, это явно вычислить коммутатор, используя канонические коммутационные соотношения. Они справедливы даже для взаимодействующих теорий поля, поскольку мы работаем в картине взаимодействия. Поскольку коммутационные соотношения выполняются только в равные моменты времени, вы должны оценить

Q

$Q$ в то же время вы оцениваете

\hat{ϕ}

$\hat{\phi}$ . (Это не проблема, потому что по определению симметрии

[Q, H] = 0

$[Q, H] = 0$ так

Q

$Q$ не зависит от времени.)

Ваш случай (i) плохой, потому что вы должны различать отображения $\phi \to f(\phi, g)$ связанные с классическими симметриями и унитарными операторами $U(g)$ действующие в гильбертовом пространстве. Отображение $f(\phi, g)$ не обязательно должно быть унитарным или даже линейным преобразованием.

В приведенном выше примере вы не воздействуете на состояния, просто умножая их на $e^{i \theta}$ , что было бы тривиально. Вместо этого вы действуете с $U(g)$ . Вы можете проверить, что на самом деле он вращается с коэффициентом $e^{i \theta}$ для каждой частицы материи и $e^{-i\theta}$ для каждой частицы антивещества в государстве.

Большое спасибо за ответ, это! Я кое-что до сих пор не совсем понимаю: вначале вы сказали, что «действительно, симметрия в квантовом случае просто...», а потом, после, показали правильное преобразование симметрии (путем сопряжения). Я понимаю, конечно, что преобразования порождаются зарядами Нётер, и чего я не могу точно проследить, так это разницы между двумя утверждениями. Является ли первое просто реализацией того, какой симметрией обладает теория, а второе касается того, какое соответствующее преобразование оставляет физику неизменной?
@GaloisFan Я не совсем понимаю, что вы имеете в виду. Симметрии — это преобразования, которые оставляют физику неизменной. (Я не уверен, что еще вы могли бы подразумевать под «симметрией».) Учитывая классическую симметрию, я показал вам два способа записать, как симметрия действует на поля: либо скопировать то, что она делала в классическом случае , или более формально сопряжен оператором. Оба способа точно записывают одну и ту же лежащую в основе симметрию. Пожалуйста, скажите мне, если это не решит вашу путаницу!
Вы показали, что обе формы эквивалентны, но как насчет более сложной группы симметрии? Например, $\phi \to e^{i T_a \alpha_a}\phi$ . Тогда здесь уже появляются сохраняющиеся заряды, т. е. образующие $T_a$ . Что произойдет в этом случае (относительно обеих форм)?
@GaloisFan Рассуждения идентичны, за исключением того, что индексы появляются в большинстве уравнений. Уравнение $U(e^{i\theta}) = e^{i \theta Q}$ просто становится $U(e^{i T_a \theta^a}) = e^{i Q_a \theta^a}$ . (Это согласуется с абелевым случаем, когда образующая $T$ это один.)
@GaloisFan Количество $T_a$ не является сохраняющимся зарядом ни в каком смысле, ни в классической, ни в квантовой теории. Я имею в виду, посмотрите на абелев случай - там $T_a$ буквально просто число $1$ .
Я понимаю! Тогда это еще одна вещь, которую я всегда неправильно понимал. Последнее сомнение: в таком случае, в чем разница между «генераторами» элементов базиса алгебры и «генераторами» нётеровских сохраняющихся зарядов? Извините, если это просто повторение одного и того же вопроса снова и снова.
@GaloisFan А, наверное, ты запутался. Оба $T_a$ и $Q_a$ являются генераторами группы Ли симметрии, классической и квантовой соответственно. Это означает, что они представляют бесконечно малые симметрии, и вы возводите их в степень, чтобы получить конечные симметрии. Но $T_a$ не сохраняется заряд, $Q_a$ - соответствующий сохраняющийся заряд.

Как преобразование симметрии действует на квантовые поля

ГалуаФан

СлучайныйПреобразование Фурье

Ответы (1)

Кнчжоу

ГалуаФан

Кнчжоу

ГалуаФан

Кнчжоу

Кнчжоу

ГалуаФан

Кнчжоу

Что это значит, если интертвинер уважает групповое действие?

Рассматривая симметрии Вайнбергом, действительно ли он рассматривает одну лежащую в основе абстрактную группу?

Симметрии в физике

Бесконечные представления SO(2)SO(2)SO(2)

Какая симметрия ответственна за вырождение гамильтониана свободной частицы?

Как узнать, что лагранжиан имеет симметрию SU(2)×SU(2)SU(2)×SU(2)SU(2)\times SU(2)?

SO (3) SO (3) SO (3), SU (2) SU (2) SU (2) и симметрии в квантовой механике [дубликат]

Унитарная калибровка для неабелева случая

Трехмерный изотропный осциллятор и алгебра углового момента

Конкретный пример того, что проективное представление группы симметрии происходит в квантовой системе, кроме случая полуцелого спина?