Симметрии в физике

Рассмотрим теорию полей$\phi:M\to T$куда$M$является многообразием, и$T$представляет собой набор. В физике$T$часто является либо векторным пространством, либо многообразием. Мы называем$M$область теории, и мы называем$T$целевое пространство . теории. Мы вызываем функцию из$M$к$T$конфигурация поля , а множество всех конфигураций поля обозначается$\mathcal F$.

Рассмотрим две ситуации:

Случай 1. Пусть группы$G_M$а также$G_T$быть данным. Позволять$\rho_M$быть действием$G_M$на$M$, и разреши$\rho_T$быть действием$G_T$на$T$, то имеет место «естественное» действие$\rho_\mathcal F$из$G_M\times G_T$на$\mathcal F$данный

$$\begin{align} \rho_\mathcal F(g_M, g_T)(\phi)(x) = \rho_T(g_T)\Big(\phi\big(\rho_M(g_M)^{-1}(x)\big)\Big) \end{align}$$ Я оставлю это вам, чтобы доказать, что это групповое действие.

Случай 2. Пусть группы$G$быть данным. Позволять$\rho_M$быть действием$G$на$M$, и разреши$\rho_T$быть действием$G$на$T$, то имеет место «естественное» действие$\rho_\mathcal F$из$G$на$\mathcal F$данный

$$\begin{align} \rho_\mathcal F(g)(\phi)(x) = \rho_T(g)\Big(\phi\big(\rho_M(g)^{-1}(x)\big)\Big) \end{align}$$ Я оставлю это вам, чтобы доказать, что это на самом деле групповое действие.

Теперь давайте сформулируем ваш вопрос следующим образом:

В любом из вышеперечисленных случаев их смысл, в котором$\rho_M$вызывает$\rho_T$?

Ответ, насколько мне известно, заключается в том, что это зависит от контекста и от того, что вы подразумеваете под «индуцированным». Давайте рассмотрим пример, который вы приводите в постановке вопроса.

Пример. Ан$\mathrm{O}(2)$векторное поле на$\mathbb R^{3,1}$.

У нас есть

$$\begin{align} M = \mathbb R^{3,1}, \qquad T = \mathbb R^2, \qquad G_M = \mathrm{P}(3,1), \qquad G_T = \mathrm{O}(2) \end{align}$$ куда $\mathrm{P}(3,1)$группа Пуанкаре в четырех измерениях. В этом случае часто принимают $\rho_M$а также $\rho_T$быть $$\begin{align} \rho_M(\Lambda,a)(x) = \Lambda x+a, \qquad \rho_T(R)(v) = Rv \end{align}$$ Обратите внимание, что это подпадает под случай 1 выше. В этом случае нет никакой «канонической» связи (насколько мне известно) между группой Пуанкаре и $\mathrm{O}(2)$, так что нет канонического смысла, в котором $\rho_M$вызывает $\rho_T$.

Однако рассмотрим следующий пример:

Пример. Ан$\mathrm{SO}(3)$ $2$-тензорное поле на$\mathbb R^{3}$.

У нас есть

$$\begin{align} M = \mathbb R^{3}, \qquad T = T_2(\mathbb R^3), \qquad G = \mathrm{SO}(3) \end{align}$$ куда $T_2(\mathbb R^3)$векторное пространство $2$-тензоры на $\mathbb R^3$. Затем происходит естественное действие $G$на $M$данный $$\begin{align} \rho_M(R)x = Rx \end{align}$$ С $2$-тензоры на $\mathbb R^3$можно описать как билинейные функции отображения $S:\mathbb R^3\times \mathbb R^3 \to \mathbb R$, также имеет место естественное действие $G$на $T$данный $$\begin{align} \rho_T(S)(x_1, x_2) = S(R^{-1}x_1, R^{-1} x_2) \end{align}$$ который также может быть записан как $$\begin{align} \rho_T(S)(x_1, x_2) = S(\rho_M(R)^{-1}x_1, \rho_M(R)^{-1} x_2) \end{align}$$ так что в данном случае есть смысл $\rho_M$вызвал $\rho_T$.