Трехмерный изотропный осциллятор и алгебра углового момента

I) Возможно, полезно указать, что даже если физическая система$S$не имеет вращательной симметрии (например, если система$S$представляет собой трехмерный анизотропный гармонический осциллятор), то группа Ли$G=SO(3)$вращений по-прежнему имеет групповое действие $G \times S \to S$в системе. См. также, например, этот пост Phys.SE.

В частности, гильбертово пространство${\cal H}$системы по-прежнему становится (возможно, бесконечномерным, возможно, приводимым) представлением$^1$из$G$.

И гильбертово пространство${\cal H}=\oplus_j{\cal H}_j$можно разложить на конечномерные$G$- безответный ${\cal H}_j$.

Кроме того, угловой момент$J_i$,$i\in\{1,2,3\}$, являются образующими соответствующей алгебры Ли$so(3)$.

II) Теперь, если$J_i$,$i\in\{1,2,3\}$, коммутируют с гамильтонианом$H$, тогда можно сказать больше о том, что упоминает профессор ОП. В частности, вышеупомянутый$G$-иррепы${\cal H}_j$становятся (вырожденными) собственными энергетическими пространствами.

--

$^1$Относительно однозначности волновой функции см. также, например, этот вопрос Phys.SE.