Унитарная калибровка для неабелева случая

Определенно есть, и ваш текст должен был использовать его для более традиционного определения унитарной калибровки: параметризация группового элемента SU(2) физики, то есть матрица вращения для спиноров R . Включите v в определение σ , где оно принадлежит и откуда оно может вновь появиться по желанию.

$$R=\exp (i\theta ~\hat{n}\cdot\vec{\sigma})=I \cos \theta +i \hat{n}\cdot\vec{\sigma} \sin \theta= \begin{bmatrix}\cos \theta +i n_3\sin \theta & i\sin \theta (n_1-in_2) \\ i\sin \theta (n_1+in_2) &\cos \theta -i n_3\sin \theta \end{bmatrix}.$$

Легче и даже традиционнее работать в обратном направлении.

$$R \begin{bmatrix} 0 \\ \rho\end{bmatrix} =\rho \begin{bmatrix} \sin\theta (i n_1+n_2) \\ \cos\theta -in_3\sin \theta\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\eta_1(x) + i\eta_2(x) \\ \sigma(x) +i \eta_3(x)\end{bmatrix},$$
то есть $$\eta_1=n_2 \rho \sin \theta, \quad \eta_2=n_1 \rho \sin \theta, \quad \eta_3=-n_3 \rho \sin \theta, \quad \sigma= \rho \cos \theta,$$ так что $~\rho^2=\sigma^2+\vec{\eta}^2~$и $~\vec{\eta}^2=\rho^2 \sin^2\theta=\sigma^2 \tan^2\theta~$.

Итак, тогда,$R^{-1}$- элемент группы SU(2), который вы искали, с$\theta$и$\hat{n}$разрешима, как указано выше. Примечание$\rho \neq\sigma$, как вы и искали, легко подтвердить по модулю/длине двух соответствующих спиноров! Ваш текст был слегка "метафоричным".

А также признак$\eta_3$в вашем выражении нетрадиционно: в большинстве текстов предпочтение отдается знаку минус, и меняются ролями$\eta_1$и$\eta_2$, чтобы (только) затем иметь

$$(I \sigma+i~\vec{\eta}\cdot\vec{\sigma}) \begin{bmatrix} 0 \\ 1\end{bmatrix} .$$