Как преобразуется триплет Хиггса под действием SU(2)L×U(1)YSU(2)L×U(1)YSU(2)_L \times U(1)_Y, если он записан как 2×22×22\times 2 матрица?

Действительно, тройка$\vec{\phi}$преобразование под матрицами триплетного представления T можно свести к вектору Паули , чтобы получить формальное сопряжение, поэтому бесследовая матрица 2 × 2

$$\Phi=\tfrac{1}{2}\vec{\phi}\cdot \vec{\tau}~,$$ преобразуется как дублетное представление, сопряженно с обеих сторон. Это называется присоединенным действием , $$\Phi \mapsto e^{i\vec{\tau}\cdot \frac{\vec{\theta}}{2}}~ \Phi ~e^{-i\vec{\tau}\cdot \frac{\vec{\theta}}{2}}.$$

В твоем случае,

$$\begin{equation} \Delta=\begin{pmatrix} \frac{\Delta^{+}}{\sqrt{2}} & \Delta^{++} \\ \Delta^0 & - \frac{\Delta^{+}}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}= \sqrt{2}\Delta^+ \frac{\tau_3}{2} +\Delta^{++} \frac{\tau_1+i\tau_2}{2} + \Delta^0 \frac{\tau_1-i\tau_2}{2} = \sqrt{2}\Delta^+ \frac{\tau_3}{2} +\Delta^{++} \frac{\tau_ +}{2} + \Delta^0 \frac{\tau_-}{2} \\ = \begin{pmatrix}\Delta^{++}+\Delta^0\\i(\Delta^{++}-\Delta^0)\\\sqrt{2}\Delta^+ \end{pmatrix}\cdot \frac{\vec{\tau}}{2}, \end{equation}$$ где вы отмечаете нормализацию $$\vec{\bar{\phi}}\cdot \vec{ \phi }=2(\Delta^{++~~2}+\Delta^{+~~2}+\Delta^{0~~2}).$$ Вы можете легко видеть, что декартов 3-вектор может быть унитарно повернут к более прозрачному сферическому базисному вектору $\sqrt{2}(\Delta^{++},\Delta^+, \Delta^0)$. Матрица $U^\dagger$достижение того, что декартово изменение базиса на сферическое дано в сноске nb 3 статьи WP или этого ответа . В безобидной рефазированной форме, $$U^\dagger \begin{pmatrix}\Delta^{++}+\Delta^0\\i(\Delta^{++}-\Delta^0)\\\sqrt{2}\Delta^+ \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}} \left(\begin{matrix} 1 & -i & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{2} \\ 1 & i & 0\end{matrix}\right) ~\begin{pmatrix}\Delta^{++}+\Delta^0\\i(\Delta^{++}-\Delta^0)\\\sqrt{2}\Delta^+ \end{pmatrix}= \sqrt{2}\begin{pmatrix}\Delta^{++}\\\Delta^+ \\ \Delta^0 \end{pmatrix}.$$

• Чтобы подтвердить нормализацию половинного угла и знаков, возьмите только 3-ю компоненту θ как отличную от нуля и бесконечно малую, поэтому приращение вращения Δ представляет собой более простую матрицу с исчезающими диагоналями. Убедитесь, что компоненты приращения$\vec{\phi}$теперь задаются коммутаторами (сопряженными) и полностью соответствуют классическому векторному приращению указанного вами триплетного представления. Тогда очевидно после коммутации с$\tau_3/2$что$T_3$собственные значения тройки$(\Delta^{++},\Delta^+, \Delta^0)$равны (1,0,-1), так что его$Y=Q-T_3=1$. Я нормализую слабый гиперзаряд современным («альтернативным») способом, т.е. отбрасывая лишний сильный знаменатель 2.

• Вы можете найти вывод T для всех порядков с помощью этой конструкции в этом ответе .