Что такое (подразумевается) некомпактная U(1)U(1)U(1) группа Ли?

По «некомпактному$U(1)$группа», мы имеем в виду группу, изоморфную$({\mathbb R},+)$. Другими словами, элементы$U(1)$формально$\exp(i\phi)$но идентификация$\phi\sim \phi+2\pi k$не навязывается. Когда это не наложено, это также означает, что двойная переменная («импульс»)$\phi$, заряд, не квантуется. Можно допустить поля с произвольными непрерывными зарядами$Q$которые преобразуются с коэффициентом$\exp(iQ\phi)$.

Это по-прежнему правомерно называть версией$U(1)$группа, потому что алгебра Ли группы все та же,${\mathfrak u}(1)$.

Во второй части вопроса, где я не уверен на 100%, что вы не понимаете в цитате, вы, вероятно, хотите объяснить, почему компактность связана с квантованием? Это потому, что заряд$Q$это то, что определяет, как фаза$\phi$комплексного поля меняется при калибровочных преобразованиях. Если мы скажем, что калибровочное преобразование, умножающее поля на$\exp(iQ\phi)$эквивалентен для$\phi$а также$\phi+2\pi$, это эквивалентно тому, что$Q$является целочисленным, поскольку тождество$\exp(iQ\phi)=\exp(iQ(\phi+2\pi))$выполняется тогда и только тогда, когда$Q\in{\mathbb Z}$. Это та же логика, что и при квантовании импульса на компактных пространствах или углового момента по волновым функциям, зависящим от сферических координат.

Он объясняет, что вложение$Q$в неабелеву группу в значительной степени означает, что$Q$встроен в$SU(2)$группа внутри неабелевой группы, а затем$Q$квантуется по той же математической причине, почему$J_z$квантуется. Я бы повторил его объяснение только потому, что оно кажется мне совершенно полным и понятным.

Обратите внимание, что квантование$Q$сохраняется, даже если$SU(2)$самопроизвольно разбивается на$U(1)$. Ведь подобное мы видим в электрослабой теории. Теория групп все еще работает для спонтанно$SU(2)$группа.

1. Вообще говоря, у нас есть$^1$

   $$\text{Compact } U(1)~\cong~(e^{i\mathbb{R}}, \cdot)~\cong~S^1,$$ а также $$\text{Non-compact } U(1)~\cong~(\mathbb{R},+).$$

2. Например, накрывающая группа компакта$U(1)$некомпактная группа$(\mathbb{R},+)$.

3. В общем, для калибровочной теории с калибровочной группой$G$, мы всегда можем рассматривать ее как калибровочную теорию с калибровочной группой, равной накрывающей группе$\tilde{G}$. (Примечание: обратное не всегда возможно.)

4. Например, для автономного QED с калибровочной группой$U(1)_Q$, затем пт. 3 - не очень интересное наблюдение.

5. Давайте теперь вернемся к первой цитате OP из Ref. 1. Электрослабая теория Глэшоу–Вайнберга–Салама имеет неполупростую калибровочную группу

   $$G~=~SU(2)_I \times U(1)_Y~\supset~ U(1)_I\times U(1)_Y.$$ Отметим, что электромагнитная подгруппа$H=U(1)_Q$правильно/компактно/соизмеримо/топологически (нерегулярно/некомпактно/несоизмеримо/нетопологически) вложено в$G$если касательная к углу Вайнберга $\tan\theta_W$рационально (иррационально), соответственно, ср. Рис. 1 и 2. Этот факт стоит за первой цитатой в ссылке. 1.

$\uparrow$Рис. 1. (Из Википедии.) Подалгебра Картана $u(1)_I\oplus u(1)_Y \subset su(2)_I\oplus u(1)_Y$. Горизонтальная ось - это (третья компонента) слабого изоспина . $I_3=T_3$, а по вертикальной оси - слабый гиперзаряд $Y$. Ось электрического заряда$Q$наклонен под углом Вайнберга$\theta_W$.

$\uparrow$Рис. 2. (Из работы 2.) Тор Картана $U(1)_I\times U(1)_Y$из$G$представляет собой квадрат с отождествленными противоположными сторонами. Преобразование электромагнитной калибровки прослеживает линию$Aaa'bb'cc'dd'ee'\ldots$. Если$\tan\theta_W\in \mathbb{R}\backslash\mathbb{Q}$иррациональна, то электромагнитная подгруппа$H=U(1)_Q$является некомпактно вложенным.

Использованная литература:

1. Дж. Прескилл, Магнитные монополи, Ann. Преподобный Нукл. Часть. науч. 34 (1984) 461-530 ; п. 471. PDF-файл доступен здесь .

2. Л. Х. Райдер, Квантовая теория поля, 2-е изд., 1996; п. 412.

3. А. М. Поляков, Калибровочные поля и струны, 1987; Раздел 4.3.

--

$^1$Некоторые авторы (см., например, ссылку 3 и соответствующий пост Phys.SE) используют терминологию «компактные$U(1)$калибровочной теории» , чтобы подчеркнуть, что калибровочное поле принимает значения в компактном$U(1)$группе Ли, а не в некомпактной$u(1)$Алгебра лжи. Последнее является стандартной формулировкой КЭД, обычно встречающейся в учебниках.