Как прийти к уравнению Дирака из алгебры Пуанкаре?

Прежде всего отметим, что на гильбертовом пространстве физических состояний реализуются проективные представления группы Пуанкаре, а именно представления «с точностью до знака». Это можно включить автоматически, увеличив группу Пуанкаре до ее универсальной накрывающей группы, которая$ISL(2,C)$.

Вот общее утверждение, в котором суть: одночастичные представления$ISL(2,C)$с ненулевой массой$m$и спина$s$реализуются спинорными тензорами$\psi_{a_{1}...a_{n}\dot{b}_{1}...\dot{b}_{m}}, \ \frac{m+n}{2}=s$удовлетворяющие уравнениям

$$\tag 1 \begin{cases}(\partial^{2}+m^{2})\psi_{a_{1}...a_{n}\dot{b}_{1}...\dot{b}_{m}} = 0, \\ \partial^{a\dot{b}}\psi_{aa_{1}...a_{n-1}\dot{b}\dot{b}_{1}...\dot{b}_{m-1}}= 0, \quad \partial^{a\dot{b}} \equiv \partial^{\mu}\sigma_{\mu}^{a\dot{b}}, \ \ \text{for } A,B> 1 \end{cases}$$ Напоминаем, что индексы без точек соответствуют $SL(2,C)$группа (которая является универсальной накрывающей группой для группы Лоренца $SO(3,1)_{\uparrow}$) преобразование $N$, а пунктирные индексы соответствуют комплексно-сопряженному преобразованию $N^{*}$. Наконец-то, $\sigma_{\mu} \equiv (1, \sigma)$, с $\sigma$три матрицы Паули.

Вы должны понять$(1)$как уравнения, определяющие$\psi$как функция, соответствующая представлению, на котором два оператора Казимира группы Пуанкаре$\hat{P}^{2}$(перевод/4 импульса в квадрате) и$\hat{W}^{2}$(в квадрате Паули-Любански) имеют значения$m^{2}$и$-m^{2}s(s+1)$соответственно. Это можно показать, выразив эти инварианты Казимира в терминах объектов спинорных тензоров.

Обозначим тензор$\psi_{a_{1}...a_{n}\dot{b}_{1}...\dot{b}_{m}}$по представлению$\left( \frac{n}{2},\frac{m}{2}\right)$из$SL(2,C)$группа, которой он соответствует. Для половины спина из предыдущих утверждений мы имеем, что оба представления$\left( \frac{1}{2},0\right)$и$\left( 0, \frac{1}{2}\right)$действительны; они задаются двухкомпонентными спинорами. Но соответствующие уравнения, которые являются просто уравнениями Клейна-Гордона, далеки от уравнения Дирака... Так в чем же еще дело?

На самом деле ни$\left( \frac{1}{2}, 0\right)$ни$\left(0,\frac{1}{2} \right)$описывает теорию, инвариантную относительно$P-,T-,C-$дискретные симметрии отдельно; из этого, в частности, следует невозможность построения ЭМ теории взаимодействия этих представлений со статическим законом взаимодействия, совпадающим с законом Кулона.

Чтобы получить инвариантную теорию, нам нужно взять прямую сумму

$$\tag 2 \left( \frac{1}{2},0\right) \oplus \left( 0,\frac{1}{2}\right)$$ этих представлений.

Но эта прямая сумма, конечно, не является неприводимым представлением. Для того, чтобы сделать его неприводимым (и одновременно$P-,T-,C-$инвариант), нам нужно построить пуанкаре- и$P-,T-,C-$ковариантный оператор, выделяющий неприводимое представление при действии на прямую сумму$(2)$. Нетрудно построить такой оператор (при условии, что вы можете вывести$(1)$), и оказывается, что он совпадает с оператором уравнения Дирака.

Аналогичная история верна, когда мы рассматриваем фотоны и гравитоны. На самом деле безмассовые представления группы Пуанкаре характеризуются значением спиральности, которое является оператором$\hat{h} = \frac{\hat{\mathbf{W}}\cdot \hat{\mathbf P}}{|\hat{\mathbf P}|}$значение, а физически является проекцией полного углового момента на направление движения. Опять же, представления с отдельными значениями спиральности (скажем, 1 или -1) не являются$P-,T-,C-$инвариант. Чтобы иметь инвариантную теорию, нужно снова брать прямую сумму, но уже без всяких проекторов. В случае фотонов мы придем к уравнениям Максвелла на тензоре силы$F_{\mu\nu}$, а в случае гравитонов мы придем к уравнениям на линеаризованном тензоре Вейля общей теории относительности без источника.