S-операторная лоренц-инвариантность

В самом деле, не предполагая этого из первых принципов, как в формулировке Боголюбова, свойство инвариантности$S$Упомянутый вами оператор выполняется, когда лагранжиан взаимодействия не включает производные полей, как в КЭД. Это следствие расширения картины взаимодействия Дайсона. Когда, как сказано выше, лагранжиан взаимодействия не включает производные полей, то имеем:

$${\cal H}_I = -{\cal L}_I$$ так что $$S = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{i^n}{n!} \int\cdots \int T \hat{\cal L}_I(x_1)\cdots \hat{\cal L}_I(x_n) \:d^4x_1\cdots d^4x_n\:.$$ Стоит заметить, что $\hat{\cal L}_I(x)$включает только операторы свободного поля, так как мы имеем дело с так называемой картиной взаимодействия, так что все известно явно, в частности коммутационные соотношения операторов поля. Поскольку функции Лагранжа являются скалярами, мы имеем: $$U_\Lambda\hat{\cal L}_I(x) U^\dagger_\Lambda = \hat{\cal L}_I(\Lambda^{-1} x)\qquad (1)$$ Более того, ввиду коммутационных соотношений свободных полей также имеем: $$[\hat{\cal L}_I(x), \hat{\cal L}_I(y)]=0 \qquad (2)$$ если $x$и $y$пространственноподобно разделены. Дело в том, что $S$инвариантен относительно действия ортохронной группы Лоренца вполне очевидно $$U_\Lambda SU_\Lambda^\dagger = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{i^n}{n!} \int\cdots \int U_\Lambda T[ \hat{\cal L}_I(x_1)\cdots \hat{\cal L}_I(x_n)]U_\Lambda^\dagger \:d^4x_1\cdots d^4x_n$$ $$=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{i^n}{n!} \int\cdots \int T[U_\Lambda \hat{\cal L}_I(x_1)U_\Lambda^\dagger\cdots U_\Lambda \hat{\cal L}_I(x_n)U_\Lambda^\dagger] \:d^4x_1\cdots d^4x_n$$ $$=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{i^n}{n!} \int\cdots \int T[\hat{\cal L}_I(\Lambda^{-1} x_1)\cdots \hat{\cal L}_I(\Lambda^{-1}x_n)] \:d^4x_1\cdots d^4x_n$$ $$=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{i^n}{n!} \int\cdots \int T[\hat{\cal L}_I(x_1)\cdots \hat{\cal L}_I(x_n)] \:d^4x_1\cdots d^4x_n$$ в силу лоренц-инвариантности меры $d^4x$. Личность: $$U_\Lambda T[ \hat{\cal L}_I(x_1)\cdots \hat{\cal L}_I(x_n)]U_\Lambda^\dagger= T[U_\Lambda \hat{\cal L}_I(x_1)U_\Lambda^\dagger\cdots U_\Lambda \hat{\cal L}_I(x_n)U_\Lambda^\dagger]$$ является следствием определения $T$-ordinator, (1) и (2) для пространственноподобных разделенных аргументов, учитывая все случаи, касающиеся временного порядка $x_1,\ldots, x_n$и тот факт, что $\Lambda$не меняет временной порядок причинно-связанных аргументов, поскольку принадлежит к ортохронной подгруппе.

Для более сложных теорий результат не очевиден и может быть ложным в своей элементарной формулировке, основанной на каноническом квантовании, за исключением случая калибровочных теорий, где его можно доказать отдельно.

Относительно утверждения Вайнберга о лоренцевой ковариантности$S$матрица и лоренц-инвариантность$S$оператор , если я хорошо понял определение, думаю, что он работает так.

Начнем с полной (взаимодействующей) теории. Есть векторы$\Psi^\pm_{\{p_i\}}$описывающие состояния, которые в позднее время (соответственно$t\to +\infty$и$t\to -\infty$) эволюционируют как состояния свободных частиц с импульсами$\{p_i\}$. Соответственно ассоциированные свободные состояния, всегда эволюционирующие в соответствии со свободной теорией , обозначены$\Phi_{\{p_i\}}$. $S$-matrix — матрица элементов:

$$\langle \Psi^+_{\{q_i\}}|\Psi^-_{\{p_i\}}\rangle = \langle \Phi_{\{q_i\}}|S\Phi_{\{p_i\}}\rangle\:.\qquad(3)$$ В RHS $S$имеет место оператор. Ввиду этого процесс рассеяния полностью описывается в терминах свободных состояний.

Сказать, что$S$матрица Лоренц-ковариантная должна означать (насколько я понимаю):

$$\langle \Psi^+_{\{\Lambda q_i\}}|\Psi^-_{\{\Lambda p_i\}}\rangle = \langle \Psi^+_{\{q_i\}}|\Psi^-_{\{p_i\}}\rangle\quad \forall \Lambda \in O(3,1)\uparrow\:, \forall \{\Lambda q_i\}\:, \{\Lambda p_i\}\:.$$ Из (3) сразу следует: $$\langle \Phi_{\{\Lambda q_i\}}|S\Phi_{\{\Lambda p_i\}}\rangle = \langle \Phi_{\{q_i\}}|S\Phi_{\{p_i\}}\rangle\:.\qquad(4)$$ Если $U_\Lambda$является унитарным представлением $O(3,1)\uparrow$на свободных состояниях, так что $\Phi_{\{\Lambda p_i\}}= U_\Lambda \Phi_{\{p_i\}}$, поэтому имеем: $$\langle U_\Lambda \Phi_{\{ q_i\}}|S U_\Lambda\Phi_{\{p_i\}}\rangle = \langle \Phi_{\{q_i\}}|S\Phi_{\{p_i\}}\rangle\:,$$ то есть $$\langle \Phi_{\{ q_i\}}|U^\dagger_\Lambda S U_\Lambda\Phi_{\{p_i\}}\rangle = \langle \Phi_{\{q_i\}}|S\Phi_{\{p_i\}}\rangle\:,$$ и так: $$\langle \Phi_{\{ q_i\}}| \left( U^\dagger_\Lambda S U_\Lambda - S\right) \Phi_{\{p_i\}}\rangle = 0\:,$$ Поскольку набор векторов $\Phi_{\{p_i\}}$образует базис гильбертова пространства (свободной теории) с учетом гипотез об асимптотической полноте , заключаем, что: $$U^\dagger_\Lambda S U_\Lambda - S=0$$ то есть $$S=U_\Lambda S U^\dagger_\Lambda\:, \quad \forall \Lambda \in O(3,1)\uparrow\:.$$ Другими словами, если $S$матрица является лоренц-ковариантной , то $S$оператор является лоренц-инвариантным .