Одночастичные состояния, а также поля в квантовой теории поля рассматриваются как представления группы Пуанкаре, например скалярные, спинорные и векторные представления.
Существует ли какая-либо систематическая процедура, которая начинается с метки Дынкина для данного представления, чтобы построить лагранжиан этой теории поля? Если да, то где я могу найти эту процедуру?
Меня не волнует, что добавление взаимодействия калибровочной инвариантностью от этих лагранжианов вызовет неперенормируемость или нет. Я могу жить с эффективными теориями.
Не все неприводимые представления (кратко иррепы) группы Пуанкаре приводят к лагранжиану. Одним из примеров (см. мой комментарий к ответу Хулио Парра) являются представления с нулевой массой и «непрерывной спиральностью» (иногда называемые «бесконечной спиральностью»).
Однако есть способ начать с положительной энергии независимо от группы Пуанкаре (т. е. пространства с 1 частицей) и построить алгебры свободных (т. е. невзаимодействующих) локальных наблюдаемых напрямую, не прибегая к лагранжиану. Он основан на методах, пришедших из операторной алгебры — см., например, R. Brunetti, D. Guido and R. Longo, Modular Localization and Wigner Particles , Rev. Math. физ. 14 (2002) 759-786, arXiv:math-ph/0203021 .
Я не думаю, что такое существует. Обычно представители только помогают вам классифицировать объекты, которые у вас есть (т. е. квантовые числа, которые их идентифицируют) и то, как они трансформируются в соответствующей группе. Единственное сходство, о котором я знаю, это то, что некоторые представители групп Пуанкаре, а точнее несущие их векторные пространства, имеют соответствие с гильбертовым пространством решений некоторого волнового уравнения
спин 0 : уравнение Клейна-Гордона
спин 1/2 : уравнение Дирака
спин 3/2: Рарита-Швингер
так далее
и может построить лагранжиан/действие, которое дает их как динамику.
Qмеханик