Каковы на самом деле трансформационные свойства дираковских спиноров uσ(p)uσ(p)u_\sigma(p)?

Мы можем ответить на этот вопрос в более общем виде: каковы свойства преобразования поляризаций, связанных с массивным полем? (Я ограничиваюсь массивными, потому что поляризации для безмассовых частиц со спином больше или равным 1 требуют обсуждения калибровочной инвариантности; я оставлю это на другой день).

Поляризации можно определить без привязки к уравнению поля: они определяются как матричные элементы для поля между вакуумом и одночастичными состояниями:

$$\langle 0| \psi_\ell(0) | \mathbf{p},\sigma\rangle \propto u^\sigma_\ell(\mathbf{p})$$ где коэффициент пропорциональности является константой (известной как перенормировка волновой функции) в релятивистской нормировке для состояния $|\mathbf{p},\sigma\rangle$. Здесь индекс $\ell$индекс в представлении Лоренца, который несет поле $\psi_\ell$(например, $\ell=\mu$для 4-вектора, $\ell=\alpha$для спинора Дирака, в более общем смысле $\ell=(\alpha,\beta)$это пара индексов в $(A,B)$представительство $SO(3,1)\sim SU(2)\times SU(2)$). Поляризации несут также другой индекс, $\sigma$, который представляет спин частицы. Точнее, это индекс малой группы, переносимый частицей, будь то спин или спиральность. Это определение сразу говорит нам, как $u^\sigma_\ell$преобразует, учитывая, что $\psi$имеет представление Лоренца $$U(\Lambda)\psi_\ell(x) U^{-1}(\Lambda)=D(\Lambda^{-1})_{\ell\ell^\prime}\psi_{\ell^\prime}(\Lambda x)$$ и одночастичное преобразование состояния относительно малой группы с вигнеровским вращением $$U(\Lambda)|\mathbf{p},\sigma\rangle = \mathcal{L}_{\sigma^\prime\sigma}(W(\Lambda),p)|\mathbf{p}_\Lambda, \sigma^\prime\rangle$$ которые подразумевают $$D(\Lambda)_{\ell\ell^\prime}u^\sigma_{\ell^\prime}(\mathbf{p})=u^{\sigma^\prime}_{\ell}(\mathbf{p}_\Lambda)\mathcal{L}_{\sigma^\prime\sigma}(W(\Lambda),p)$$ где $\mathbf{p}_\Lambda$является 3-векторной частью 4-вектора $\Lambda p$. (Один из способов прочесть это уравнение — сказать, что поляризации преобразуются слева при Лоренце и справа при преобразованиях малой группы: это должно быть так, чтобы можно было преобразовать лоренцевские индексы корреляционных функций полей в малые групповые индексы матрицы рассеяния $S$в соответствии с формулой сокращения LSZ).

Это ответ на ваш вопрос. Но на самом деле мы можем сказать больше: эти свойства преобразования являются конструктивными, поскольку позволяют явно определить поляризацию (и показать, что они удовлетворяют некоторым уравнениям, например, Дирака для спина 1/2,...), как это было показано давно в 60-х годах Вайнбергом (см. обсуждение в его учебнике по КТП, том 1, глава 5). Например, возьмите$k=(m,\mathbf{0})$(для массивной частицы) и применить каноническое преобразование Лоренца$L=\Lambda$что приводит к$p=(E,\mathbf{p})=L\,k$. В этом случае вигнеровское вращение тривиально,$W=1$, и поэтому

$$u^{\sigma}_{\ell}(\mathbf{p})=D_{\ell\ell^\prime}(L)u^\sigma_{\ell^\prime}(\mathbf{0})$$ это означает, что нам просто нужно знать их при нулевом импульсе (или, для безмассовых частиц, относительно опорного вектора, используемого для маленькой группы). Кроме того, для произвольного вращения $\Lambda=R$у нас есть $W=R$для любого $p$так что $$D_{\ell\ell^\prime}(R)u_{\ell^\prime}^\sigma=u^{\sigma^\prime}_\ell(\mathbf{0})\mathcal{L}_{\sigma^\prime\sigma}(R)$$ Выполняя диагональные вращения вокруг $z$ось, $\mathcal{L}_{\sigma^\prime\sigma}(R_z)=e^{i\sigma\theta}\delta_{\sigma^\prime\sigma}$, поляризация может быть извлечена бесконечно малым $z$-вращение $$D_{\ell\ell^\prime}(J^z) u^\sigma_{\ell^\prime}{\mathbf{0}}=\sigma u^\sigma_{\ell}(\mathbf{0})\,.$$

Приведу поучительный пример: массивное состояние со спином 1 (где$\ell$является индексом в иррепе$(1/2,1/2)$, то есть$\ell=\mu=0,1,2,3$является 4-векторным индексом) имеет трехмерное представление$J^z$где$D(J^z)_{ij}=-i\epsilon_{3ij}$и$D(J^z)_{00}=D(J^z)_{i0}=0$так что поляризации

$$\epsilon_{\mu}^{\pm}(\mathbf{0})=\frac{1}{\sqrt{2}}(0,\mp 1,-1,0)^T\,,\qquad \epsilon_\mu^0=(0,0,0,1)^T\,.$$ решить нужные уравнения выше. Ясно, что они удовлетворяют $p^\mu \epsilon_\mu^\sigma=0$, как только мы увеличим $(m,\mathbf{0})$к $p$. Поэтому матричный элемент $$\Psi_\mu(x)\equiv \langle 0| \psi_\mu(x) | \mathbf{p},\sigma\rangle =e^{ipx} \langle 0| \psi_\mu(0) | \mathbf{p},\sigma\rangle \propto e^{ipx} u^\sigma_\mu(\mathbf{p})$$ удовлетворяет $$(\square+m^2)\Psi_\mu(x)=0\,,\qquad \partial_\mu\Psi^\mu(x)=0$$ которые являются производными, а не используются в качестве отправной точки.

То же самое можно сделать для любого спина, в частности для спина-1/2 и убедиться, что они решают уравнение Дирака. В более общем смысле, поскольку группа Лоренца$SO(3,1)\sim SU(2)_A \times SU(2)_B$угловой момент определяется выражением$J=J_A+J_B$что говорит нам, что

$$D(J_A)_{\alpha\alpha^\prime}u^\sigma_{\alpha^\prime\beta}(\mathbf{0})+D(J_B)_{\beta\beta^\prime}u^\sigma_{\alpha\beta^\prime}(\mathbf{0})=\mathcal{L}(J_S)_{\sigma^\prime\sigma} u^{\sigma^\prime}_{\alpha\beta}(\mathbf{0})$$ где $\ell=(\alpha,\beta)$. Другими словами, поляризации (пропорциональны) коэффициенту Клебша-Гордана для спина $S$найден внутри $A\otimes B$ $$u^\sigma_{\alpha\beta}(\mathbf{0})\propto C^{(S)\sigma}_{(AB)\alpha\beta}$$ Некоторые свойства поляризации действительно проистекают из условия унитарности для этих коэффициентов Клебша-Гордана.

Во-первых, обратите внимание, что u(ps)u(ps) не являются состояниями в гильбертовом пространстве какой-либо квантовой теории. Вместо этого они являются решением определенного уравнения, а именно$(\gamma^{\mu}p_{\mu}−m)u(ps)=0$(эквивалентно:$u(ps)e^{−ipx}$решает уравнение Дирака). Поэтому запись в квадратных скобках на самом деле неуместна (хотя и заманчиво!) Второе замечание: вам следует подумать о том, как вообще определяется спин? Принято считать, что спин движущейся частицы определяется как ее вращение в той системе отсчета, в которой она не движется. Теперь пусть$p_0=(m,0,0,0)$и определить$u(p_0s)$как решение уравнения Дирака, описывающее покоящуюся частицу со спином$s$. Для любого вращения (которое является просто преобразованием Лоренца$\Lambda$такой, что$\Lambda p_0=p_0$) имеем соотношение, знакомое из обычного КМ

$$S(\Lambda)u(p_0s) = D(\Lambda)_{s's}u(p_0s')$$ Тогда для любого возможного импульса $p$этой частицы мы выбираем некоторое стандартное ускорение $\Lambda_0(p)$который трансформирует $p_0$к $p$. Стандартный выбор - это просто повышение в $\vec p$направление. Теперь определите $u(ps)=S(\Lambda_0(p))u(p_0s)$. Это решение, описывающее движущуюся частицу со спином $s$в его рамке покоя. Теперь выберем произвольное преобразование Лоренца $\Lambda$и рассчитать его действие $$S(\Lambda) u(ps) = S(\Lambda \Lambda_0(p)) u(p_0 s)=S(\Lambda_0(\Lambda p))S(W(\Lambda,p)) u(p_0s),$$ где $W(\Lambda,p)=\Lambda_0(\Lambda p)^{-1}\Lambda \Lambda_0(p)$. Это преобразование Лоренца называется вращением Вигнера. Легко видеть, что $W(\Lambda,p)p_0=p_0$, поэтому применяется предыдущая формула. Поэтому $$S(\Lambda)u(ps) = S(\Lambda_0(\Lambda p)) \sum_{s'}D_{s's}(W(\Lambda,p)) u(p_0s')=\sum_{s'}D_{s's}(W(\Lambda,p)) u(\Lambda p,s').$$ Второе равенство следует из определения $u(ps)$для $p \neq p_0$.