Какое матричное представление оператора импульса (генератора трансляций) используется в коммутаторах группы Пуанкаре?

Бустерные генераторы

Прежде всего, обратите внимание, что Вы выбрали конкретное представление образующих алгебры Ли группы Пуанкаре, которое является векторным матричным представлением. Представлений вообще много (ниже напишу о них).

В своем вопросе Вы выбрали матричное представление генераторов групповой алгебры Пуанкаре в псевдоевклидовом пространстве. Преобразование перевода

$$x_{a}\to x_{a}+b_{a}$$ Обратите внимание, что это не линейное преобразование пространства-времени Минковского, поэтому его нельзя представить в виде матриц.

Однако его можно сделать линейным, если мы вложим пространство-время Минковского в фиктивное 5-мерное пространство-время с дополнительной координатой$x_{5}$. Тогда групповые преобразования Пуанкаре теперь имеют матричную форму: с$x = x_{\mu}, a = a_{\mu}, \Lambda = \Lambda_{\mu\nu}$у нас есть

$$\begin{pmatrix} x{'} \\ x_{5}{'} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \Lambda & a \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ x_{5}\end{pmatrix}$$ Теперь Вы можете получить матричное представление оператора перевода. Попробуйте сделать это.

Что касается другого представления, то генераторы можно представить в терминах дифференциальных операторов. А именно, для группового преобразования

$$x_{\alpha} = f_{\alpha}(a,x)$$ соответствующий дифференциальный оператор $\hat{X}$является $$\hat{X}_{i} = \left(\frac{df^{\alpha}(x, a)}{da_{i}}\right)_{a = 0}\partial_{\alpha}$$ Эти образующие, как можно показать, сохраняют групповую алгебру Ли. В терминах этих операторов образующие группы Пуанкаре $J_{\mu\nu},P_{\mu}$являются $$\hat{P}_{\mu} = i\partial_{\mu},\quad \hat{J}_{\mu\nu} = i(x_{\mu}\partial_{\nu} - x_{\nu}\partial_{\mu})$$ (редактирование)

На какой объект они воздействуют, на волновую функцию?

Эти выражения получены из образующих, которые Вы получили из определения групповых преобразований Пуанкаре обычного 4-вектора. Получение генераторов для преобразований «волновой функции» — это совсем другая история.

Вкратце, предположим, что у вас есть мир с симметрией Пуанкаре. На уровне квантовой механики это означает, что модуль скалярного произведения$\langle \kappa |\psi\rangle$государств$|\kappa\rangle |\psi\rangle$системы инвариантна относительно групповых преобразований Пуанкаре$|\psi\rangle \to |\psi'\rangle , \ |\kappa\rangle \to |\kappa'\rangle$:

$$|\langle \psi |\kappa \rangle|^{2} = |\langle \psi{'} |\kappa{'} \rangle|^{2}$$ По теореме Вигнера это означает, что групповые преобразования Пуанкаре реализуются линейно и унитарно (здесь для простоты я опустил обсуждение антилинейного антиунитарного случая): $$|\psi{'}\rangle = U(\Lambda , a)|\psi\rangle$$ $$U(\Lambda , a) = \text{id} + ia^{\mu}\hat{P}_{\mu} + \frac{i}{2}\omega^{\mu \nu}\hat{J}_{\mu \nu},$$ где $\omega_{\mu \nu}, a_{\mu}$являются параметрами группового преобразования Пуанкаре, а эрмитовы операторы $\hat{P}_{\mu}, \hat{J}_{\mu \nu}$называются генераторами групп Пуанкаре.

Обратите внимание, что в общем случае их явная форма зависит от представления. В общем, для$|\psi \rangle$являясь неприводимым представлением группы Пуанкаре,$|\psi\rangle = |p, \sigma\rangle$(с$p$импульс и$\sigma$быть ярлыком так называемой маленькой группы$p$), мы можем использовать следующее соответствие

$$|\psi\rangle \to \hat{a}^{\dagger}_{\sigma} \to \hat{\Psi}_{A},$$ где $\hat{a}^{\dagger}_{\sigma}(\mathbf p)$является оператором создания состояния с заданным импульсом $p$и спиновая проекция (спиральность) $\sigma$, $\hat{\Psi}_{A}$поле созидания-разрушения со спинорными индексами (в общем случае) $A$(это может быть 4-векторный оператор, спинорный оператор Дирака и т.д.). Количество и структура индексов, а значит, и закон преобразования поля под группой Лоренца определяются величиной спина (спиральности) представления. В общем, $$\hat{J}_{\mu \nu} = i(x_{\mu}\partial_{\nu} - x_{\nu}\partial_{\mu}) + \hat{M}_{\mu \nu},$$ где $\hat{M}_{\mu \nu} = (M_{\mu \nu})_{A}^{\ B}$— матрица образующих данного конечномерного представления группы Лоренца. Это определяет закон преобразования «волновой функции» $\hat{\Psi}$(а именно преобразование коэффициентов вблизи $\hat{a}$, $\hat{a}^{\dagger}$в расширении $\hat{\Psi}$).

The $\hat{P}$очевидно, является оператором импульса с$\hbar = 1$, но какие$\hat{J}$с?

$\hat{P}_{\mu}$называется 4-момемным оператором, а$\hat{J}_{\mu \nu}$называется оператором углового момента. Причина этого в том, что их часто можно получить из классических тензоров энергии-импульса и углового момента (которые получаются из теоремы Нётер) с использованием правил соответствия. Соответственно,$\hat{J}_{i} = \frac{1}{2}\epsilon_{ijk}\hat{J}^{jk}$называется оператором углового момента, а$\hat{K}^{i} = -\hat{J}^{0i}$называется повышающим оператором. В классическом пределе$\hat{K}^{i}$связан с вектором центра энергии. В этом можно убедиться, используя дифференциальные операторы для 4-векторного представления группы Пуанкаре.