Как работает период полувыведения?

Правильный способ думать об этом таков: за 5730 лет каждый отдельный атом углерода-14 имеет 50-процентную вероятность распада . Поскольку в типичном образце содержится огромное количество атомов ¹ , и поскольку они распадаются более или менее независимо ² , мы можем статистически с очень высокой точностью сказать, что через 5730 лет распалась половина всех первоначальных атомов углерода-14, а остальные еще остаются.

Отвечая на ваш следующий естественный вопрос, нет, это не означает, что оставшиеся атомы углерода-14 будут «вот-вот распасться». Вообще говоря, атомные ядра не имеют памяти ³ : пока они не распались, ядро ​​углерода-14, созданное вчера, в точности идентично тому, которое образовалось год назад, 10 000 лет назад или даже миллион лет назад. Все эти ядра, если они существуют сегодня, имеют одинаковую 50-процентную вероятность распада в течение следующих 5730 лет.

Если хотите, вы можете представить себе каждое ядро ​​углерода-14, многократно подбрасывающее очень смещенную воображаемую монету очень быстро (быстрее, чем мы можем измерить): при каждом подбрасывании с очень, очень малым шансом монета выпадает орлом, и ядро распадается; в противном случае выпадает решка, и ядро ​​пока остается вместе. В течение, скажем, секунды или дня шансы на то, что любой из подбрасываемых монет выпадет орлом, все еще ничтожны, но за 5730 лет многие, многие крошечные шансы постепенно складываются в совокупную вероятность выпадения около 50%.

---

_{¹ Грамм углерода содержит около 0,08 молей , или около 5 × 10 ²² атомов. В типичном природном образце примерно один из триллиона (1/10 ¹² ) из них будет углеродом-14 , что дает нам около 50 миллиардов (5 × 10 ¹⁰ ) атомов углерода-14 в каждом грамме углерода.}

_{² Индуцированный радиоактивный распад действительно происходит, особенно в цепных реакциях деления . Углерод-14, однако, подвергается самопроизвольному β ^- распаду , скорость которого обычно не зависит от внешних воздействий в какой-либо значительной степени.}

_{³ Ядерные изомеры и другие возбужденные состояния ядер существуют, поэтому не совсем правильно говорить, что все ядра данного изотопа всегда идентичны. Тем не менее, даже их можно на практике эффективно моделировать как дискретные состояния, при этом спонтанные переходы между различными состояниями происходят случайным образом с фиксированной скоростью во времени, как это происходит в случае ядерного распада.}

Я точно знаю, откуда ты. Если я могу выразить это своими словами: если для распада образца требуется некоторое время, не должен ли образец вдвое меньшего размера распадаться вдвое быстрее? Я не раз впадал в это, казалось бы, здравое, но как-то неверное убеждение.

Вот график, показывающий, о чем вы сейчас думаете.

Горизонтальная ось — время. По вертикали I отображается количество оставшегося образца. Этот график был бы верным, если бы половина образца распалась за половину времени. (Вы видите это на графике? Посмотрите на$t=T/2$где время$T$это когда образец исчез.) Я думаю, что в некотором смысле это имеет смысл, но природа так не работает.

Теперь вот график того, что происходит на самом деле.

Этот график является «экспоненциально затухающим». Это следствие следующего: выборка вдвое меньшего размера будет затухать вдвое медленнее. Это также имеет смысл (к счастью): если у вас половина размера выборки, у вас будет половина скорости затухания. Напротив, обратите внимание, что первый график имеет постоянную скорость затухания, независимо от размера выборки (то есть постоянный наклон).

Таким образом, эти две возможности взаимоисключающие: либо скорость затухания постоянна независимо от размера (первый график), либо скорость затухания пропорциональна размеру выборки (второй график). Наблюдение показывает, что второй график правильный.

По логике вещей, не должно ли четверть распадаться через 2865 лет, а не через 5730?

Представьте, что количество$q(n)$что-то распадается как

$$q(n) = Q\cdot 2^{-n}$$

куда$n$это число периодов полураспада .

Изначально имеется количество$q(0) = Q\cdot 2^0 = Q$чего-либо.

Через 1 период полувыведения$q(1) = Q \cdot 2^{-1} = \frac{Q}{2}$осталось.

После 2 периодов полураспада$q(2) = Q \cdot 2^{-2} = \frac{Q}{4}$осталось.

После 3 периодов полураспада$q(3) = Q \cdot 2^{-3} = \frac{Q}{8}$осталось.

После 4 периодов полураспада...

Теперь обратите внимание, что количество$\frac{q(n+1)}{q(n)} = \frac{1}{2}$постоянна . _

Другими словами, для данного количества в любой момент времени (а не только в «начальной» точке) через один период полураспада половина этого количества распалась. В этом смысл полураспада.

Из статьи в Википедии по ссылке:

Период полураспада (t½) — это количество времени, необходимое для того, чтобы количество уменьшилось вдвое по сравнению с его значением, измеренным в начале периода времени.

Предположим, вы начинаете с двух килограммов С-14. Через 5730 лет у вас останется один килограмм. Назовите этот кусок А. Теперь возьмите еще один килограмм С-14, назовите его куском Б и положите рядом с куском А.

У вас теперь есть два одинаковых куска С-14, и при этом один из них (А) должен наполовину распасться за 2865 лет, а другой (В) — за 5730 лет? Вы видите, как это не имеет смысла?

Надеюсь, это убедит вас в том, что скорость распада радиоактивного элемента может зависеть только от его количества в данный момент, а не от того, сколько осталось исходного образца.

Это то, что я не думаю, что какой-либо из других ответов явно поднимал, но Ник Стаунер упомянул об этом в комментарии .

В качестве грубой аналогии, чтобы дать вам некоторую интуицию, попробуйте следующее: положите 100 пенни в обувную коробку, все с орлом вверх. Энергично встряхните коробку из-под обуви. Выньте все пенни, которые изменились на решку вверх. Это один период полураспада. Снова встряхните коробку и снова вытащите пенни решкой вверх. Повторяйте до тех пор, пока в коробке не останется монет.

Идея здесь в том, что монеты орлом вверх представляют собой атомы углерода-14. Пенни решкой вверх представляют собой атомы, которые распались. Для любого отдельного пенни, каждый раз, когда вы встряхиваете коробку, существует вероятность 50/50, что он выпадет решкой вверх, точно так же, как для каждого отдельного атома существует 50/50 шансов, что он распадется в течение одного периода полураспада.

Период полураспада используется для описания экспоненциального распада. То, что вы описываете, было бы линейным распадом.

За один период полураспада в среднем распадается половина атомов C14. Таким образом, можно было бы ожидать, что если вы начнете с четырех атомов C14, то после одного периода полураспада у вас будет два, а после другого периода полураспада останется только один.

Однако обратите внимание, что этот процесс имеет случайную составляющую. Вы не можете точно предсказать, когда распадется отдельный атом. Однако, если у вас есть большее количество атомов, вы можете делать точные прогнозы того, сколько их останется после определенного периода времени.

По существу, ядерный распад носит вероятностный характер. Это означает, что нельзя с уверенностью сказать, что, скажем, один атом на столе распадется, скажем, в следующую минуту. Все, что можно сказать, это то, что среди данной выборки, скажем, 100 ядер, 10% распадется в следующую минуту.

Ядерный распад следует так называемой кинетике первого порядка, что означает, что скорость реакции прямо пропорциональна количеству присутствующего реагента. Другими словами,

$$d/dx(C) = -k C$$

где C — текущая концентрация реагента, а k — константа пропорциональности.

Из этого расчета можно получить термин, называемый периодом полураспада, который означает, что по истечении этого времени половина концентрации распадается (я использую термин «расщепленный» и «прореагировавший» взаимозаменяемо, поскольку реакция при ядерном распаде — это распад). .

Это означает, что образец из 100 атомов после одного периода полураспада останется 50 атомов.$=100 * (1/2)^1$, что после 2 периодов полураспада станет 25$=100 * (1/2)^2 = 50 * (1/2)^1$и так далее...

Предположим, что распад происходит так, как вы предложили, половина меньшего числа атомов распадается вдвое быстрее. Поначалу это звучит правдоподобно, но подумайте вот о чем: как любой атом узнает, что ему разрешено распасться? Он не может просто бросить кубик и затухнуть, если выпадет 1, он должен знать, насколько велика выборка, в которой он находится, и соответствующим образом скорректировать вероятность затухания. Если бы он не скорректировал свою вероятность распада, можно было бы ожидать экспоненциального распада, потому что:

Мысленный эксперимент: бросьте 20-гранный кубик. Если вы выбросите 1, он распадается. Сколько бросков нужно, чтобы достичь 50% вероятности разложения? (подсказка: это не 10) Сколько бросков, чтобы получить 100%?

Мысленный эксперимент 2: бросьте сто 20-гранных игральных костей. Любой кубик, выпавший на 1, распадается. Сколько у вас, вероятно, осталось после первого раунда? Нужно ли в среднем больше времени, чтобы они все разложились, чем если бы у вас был только 1?

Мысленный эксперимент 3: столько игральных костей, сколько атомов содержится в значительном куске материала. Как оно себя ведет?

Должно быть ясно, что в среднем вы теряете 5% кубиков , которые у вас остались (не от того, сколько вы начали с того, что система не может запомнить) за раунд — экспоненциальное затухание. «Период полураспада» этих игральных костей составляет около 13,5 раундов, именно столько времени требуется, прежде чем примерно половина из них сгниет.

Я думаю, вас смущает просто язык. Помните, что это четверть исходного образца. Так что это похоже на начисление процентов в банке. Вы начинаете с начального основного долга, после того как проценты будут начислены, вы можете сказать, что процент этого основного долга ДОБАВЛЯЕТСЯ К «основному долгу», а затем рассчитывается процент ЭТОГО и добавляется ко второму числу. То же самое и с ядерным распадом, за исключением того, что вы вычитаете, и вы вычитаете ровно половину в течение года вместо того, чтобы прибавлять что-то вроде 0,05% каждый месяц (или любое другое число, которое используют банки).

Половина этого второго образца составляет четверть оригинала. Таким образом, вы можете выразить эту часть оригинала как$\frac{1}{2^n}$куда$n =$единица времени для вашей константы. В данном случае год. Так за каждый год,$\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}$, так далее.

Масса радиоактивных материалов подчиняется обыкновенному дифференциальному уравнению:

$$m'(t)=-am(t),$$ куда $m$это масса и $a$положительная константа, т. е. постоянная относительная скорость распада.

Из этого следует

$$m(t)=m(0)\mathrm{e}^{-at}. \tag{1}$$ Если $T_h$период полураспада, то $$m(T_h)=m(0)\mathrm{e}^{-aT_h}=\frac{1}{2}m(0),$$ что подразумевает, что $$T_h=\frac{\log 2}{a},$$ и, следовательно $(1)$можно записать также как $$m(t)=2^{-t/T_h}m(0).$$ Итак, четверть жизни $T_Q$, для которого $m(T_Q)=\frac{1}{4}m(0)$или же $$m(T_Q)=2^{-T_Q/T_h}m(0)=\frac{1}{4}m(0),$$ которое выполняется только в том случае, если $T_Q=2T_h$!

Представьте себе образец из 1000 атомов с периодом полураспада 1 час.

Это означает, что каждый час выборка уменьшается на 50% от ее размера.

Через час у вас останется 500 атомов. Сколько времени потребуется, чтобы этот новый образец (500 атомов) восстановился до 50% (250 атомов)?

В вашей интерпретации:

Чтобы новый образец уменьшился на 50%, ему нужно потерять 250 атомов. Так как он потерял 500 атомов за 1 час, должно пройти 30 минут, чтобы потерять 250 атомов. И тут ты ошибаешься. Для распада половины атомов по-прежнему требуется 1 час.

Вы предполагаете, что число атомов, распадающихся во времени (500 в час), постоянно, но это не так.

Что является постоянным, так это вероятность распада каждого атома в час: 50% (в этом примере это означает, что мы можем ожидать, что 250 атомов распадутся через 1 час, и это становится намного более точным с «реальным» числом атомов на более длинном период)

проще говоря: закон о деятельности гласит, что:

dn/dt пропорционально n. что значит

скорость реакции любого вещества зависит от количества самого вещества. поскольку изначально углерода больше, вероятность того, что часть его разложится, выше, чем когда его осталось меньше.

Это единое число для начисления процентов.

Период полураспада в основном такой же, как «удвоение времени» при инвестировании, но в два раза меньше.

Правило 72: начисление процентов увеличивается

«Правило 72» позволяет вам оценить, сколько времени потребуется вашим деньгам, чтобы удвоиться при определенной процентной ставке. Например, если вы получаете 9% годовых, 72/9это 8, поэтому, согласно правилу, ваши деньги удвоятся примерно через 8 лет.

Вы можете увидеть это удвоение, если просто умножите количество на 1.09, а затем умножите результат на 1.09, и так далее. (Я не пытаюсь быть точным здесь, поэтому я просто использую целые числа для результатов.) Каждые 8 ​​раундов количество примерно удваивается.

0:    100,000
1:    109,000
2:    118,810
3:    129,503
4:    141,158
5:    153,862
6:    167,710
7:    182,804
8:    199,256 - about double
9:    217,189
10:   236,736
11:   258,,043
12:   281,266
13:   306,580
14:   334,173
15:   364,248
16:   397,031 - about double again
17:   432,763
18:   471,712
19:   514,166
20:   560,441
21:   610,881
22:   665,860
23:   725,787
24:   791,108 - about double again
... and so on

Ясно, что это не очень точно; правило 72 — это всего лишь приближение, которое вы можете просчитать в уме. Точную формулу см . в статье Википедии .

Период полураспада: компаундирование уменьшается

Half-Life — это та же идея, но с отрицательным процентом (представьте комиссию на банковский счет или инфляцию). Если сумма уменьшается на 9% в год, она уменьшится вдвое примерно через 8 лет, снова уменьшится вдвое через следующие 8 лет и т. д.

Это можно увидеть, если просто умножить сумму на 0.91, а затем умножить результат на 0.91, и так далее. (Опять же, я не пытаюсь быть точным здесь, поэтому я просто использую целые числа для результатов.) Каждые 8 ​​раундов количество составляет примерно половину.

0:    100,000
1:    92,000
2:    84,640
3:    77,869
4:    71,639
5:    65,908
6:    60,636
7:    55,785
8:    51,322 - about half
9:    47,216
10:   43,439
11:   39,964
12:   36,767
13:   33,825
14:   31,119
15:   28,630
16:   26,339 - about half again
17:   24,232
18:   22,294
19:   20,510
20:   18,869
21:   17,360
22:   15,971
23:   14,693
24:   13,518 - about half again
... and so on

Период полураспада легче сравнивать, чем процентное уменьшение

Таким образом, вместо периодов полураспада мы могли бы использовать процентные распады. Но скорость распада очень велика, поэтому, в отличие от финансовых расчетов, где «за год» всегда является разумной шкалой времени, нам пришлось бы сделать одну из двух неудобных вещей:

1. Используйте одну и ту же единицу измерения для всего, например, «процент распада в наносекунду», даже несмотря на то, что это будет большой процент для некоторых изотопов и очень маленький процент для других .
2. Используйте как проценты, так и единицы времени, например, «этот изотоп распадается на 1% в год, этот — на 3% в минуту, а этот — на 0,001% в тысячелетие» или что-то в этом роде.

Если вместо этого мы используем период полураспада, у нас будет одно число, которое легко сравнить — например, «период полураспада в одну миллисекунду» против «периода полураспада в 10 миллиардов лет».

Период полураспада 1 = 5730 лет при соотношении 1:1.

Период полураспада 2 = 11 460 лет при соотношении 1:3.

Период полураспада 3 = 17 190 лет при соотношении 1:7.

Период полураспада 4 = 22 920 лет при соотношении 1:15.

Чтобы получить 2-4 периода полураспада, вы просто добавляете 5730 каждый раз.

Итак, как я получил вторую половину жизни, вы бы сделали 5 730 + 5 730 = 11 460.