Расчет энергии основного состояния в электронном газе (желе)

$\renewcommand{\phi}{\varphi} \newcommand{\vec}[1]{\textbf{#1}}$

Это довольно длинно, потому что у меня все время были идеи, пока я писал это.

---

Рассмотрим электронный газ в кубе со стороной$L$,$V=L^3$, с периодическими граничными условиями.

Гамильтониан определяется выражением$\hat{H} = \hat{H}_\text{el} + \hat{H}_\text{b} + \hat{H}_\text{el$-$b}$, и мы делаем несколько приближений и пределов, чтобы прийти к его окончательной форме (напишите$\lvert \vec{k}\rvert \equiv k)$,

$$\begin{equation*} \hat{H} = \frac{e^2}{a_0 r_s^2} \left(\sum_{\vec{k},\alpha}\frac{k^2}{2}\hat{a}_{\vec{k},\alpha}^\dagger\hat{a}_{\vec{k},\alpha}^{\phantom{\dagger}}+\frac{r_s}{2V}\sum_{{\underset{\vec{q}\neq0}{\vec{k,p,q}}}}\sum_{\alpha_1,\alpha_2}\frac{4\pi}{q} \hat{a}_{\vec{k+q},\alpha_1}^\dagger \hat{a}_{\vec{p-q},\alpha_2}^\dagger \hat{a}_{\vec{k},\alpha_1}^{\phantom{\dagger}} \hat{a}_{\vec{p},\alpha_2}^{\phantom{\dagger}} \right), \end{equation*}$$

с фермионными операторами рождения$\hat{a}^\dagger$. Здесь,

$$r_0\equiv\sqrt[3]{\frac{3V}{4\pi N}},\quad a_0 \equiv \frac{\hbar^2}{me^2},\quad r_s\equiv\frac{r_0}{a_0}.$$

Назовите первый срок$\mathcal{A}$, второй$\mathcal{B}$. Мы видим, что$\mathcal{B}$является возмущением в пределе высокой плотности$r_s\rightarrow0$. Таким образом, энергия основного состояния этого может быть записана как$E = E^{(0)}+E^{(1)}+\ldots$где$E^{(0)}=\langle F|\mathcal{A}|F\rangle$для основного состояния$\vert F\rangle$из$\mathcal{A}$, которое является морем Ферми, импульсы заполнены до$p_F = \hbar k_F$.

Мы хотим вычислить оба$\langle F|\mathcal{A}|F\rangle$и$E^{(1)}=\langle F|\mathcal{B}|F\rangle$. Во-первых, нам нужно определить$k_F$. Мы делаем это, глядя на математическое ожидание числового оператора (в пределе мы заменяем суммы по$\vec{k}$интегралами, умноженными на множитель).

И тут начинается мое замешательство. В следующем расчете у меня есть своего рода сомнительный аргумент в пользу перехода от$(\star)$к$(\star\star)$, но я не уверен на сто процентов.

$$\begin{align*} N = \langle F|\hat{N}|F\rangle&=\frac{V}{(2\pi)^3}\sum_\alpha\int\mathrm{d}^3k\langle F|\hat{a}_{\vec{k},\alpha}^\dagger \hat{a}_{\vec{k},\alpha}^{\phantom{\dagger}} |F\rangle\\[1em] &=\frac{V}{4\pi^3}\int\mathrm{d}^3k\langle F|\hat{a}_{\vec{k}}^\dagger \hat{a}_{\vec{k}}^{\phantom{\dagger}} |F\rangle \tag{$\star$}\\[1em] &=\frac{V}{4\pi^3}\int\mathrm{d}^3k \,\Theta(k_F - k)\tag{$\star\star$} \\[1em] &=\frac{Vk_F^3}{3\pi^2} \end{align*}$$ По сути, мы говорим, что у нас есть море Ферми, поэтому над ним нет импульсных частиц. $k_F$, то есть подынтегральная функция должна равняться нулю (тогда мы бы сказали, что интеграл равен нулю, потому что константы в физике равны либо 0, либо 1). Поэтому нам нужна ступенчатая функция, учитывающая это.

Но я на самом деле не понимаю, что$\hat{a}_\vec{k}\vert F\rangle$является. Я не понимаю, что происходит, когда мы уничтожаем это конкретное основное состояние. Ну не может быть ноль, не так ли?

И вот, пока писал это, я понял, что у нас должно быть

$$\vert F\rangle = \sum_\alpha \int \text{d}^3k\, \Theta(k_F - k) \hat{a}_{\vec{k},\alpha}^\dagger |0\rangle,$$ верно? Потому что тогда мы можем легко вычислить $$\begin{align*} \hat{a}_{\vec{k},\alpha}|F\rangle = \Theta(k_F-k)\vert 0\rangle\implies\langle F|\hat{a}_{\vec{k},\alpha}^\dagger \hat{a}_{\vec{k},\alpha}^{\phantom{\dagger}} |F\rangle=\lVert \hat{a}_{\vec{k},\alpha}|F\rangle\rVert^2=\Theta(k_F-k), \end{align*}$$ и тем самым переход от $(\star)$к $(\star\star)$объясняется.

Но это далеко не все. Как упоминалось выше, мы хотим вычислить ожидаемые значения$\mathcal{A}$и$\mathcal{B}$в море Ферми, используя тот факт, что$k_F\approx 1.92\cdot r_0^{-1}$. Результаты должны быть

$$\begin{align*} \tag{$R\mathcal{A}$}\frac{2.21}{2} \frac{N e^2}{a_0 r_s}\\[1em] \tag{$R\mathcal{B}$}-\frac{0.916}{2}\frac{N e^2}{a_0 r_s}. \end{align*}$$ Моя проблема в том, что я даже не могу вывести первый, $(R\mathcal{A})$. Вот что я сделал: $$\begin{align*} E^{(0)} &=\frac{V}{8 \pi^3}\frac{e^2}{a_0 r_s^2}\frac{1}{2}\sum_\alpha\int \text{d}^3 k\, k^2 \Theta(k_F-k)\\[1em] &= \frac{V}{2 \pi^2}\frac{e^2}{a_0 r_s^2}\int_0^{k_F} \text{d}k\,k^4\\[1em] &= \frac{V}{2 \pi^2}\frac{e^2}{a_0 r_s^2}\frac{k_F^5}{5}\\[1em] &= \frac{1.92^5}{10 \pi^2}\frac{V e^2}{a_0 r_s^2}r_0^{-5} = \frac{1.92^5}{10 \pi^2}\frac{V e^2}{a_0 r_s^2r_0^2}\frac{4\pi N}{3V}\\[1em] &= \frac{2\cdot 1.92^5}{15 \pi}\frac{N e^2}{a_0 r_s^2r_0^2}\\[1em] &\approx \frac{2.21}{2}\frac{N e^2}{a_0 r_s^2r_0^2}. \end{align*}$$ Это явно не то же самое, что $(R\mathcal{A})$, с $r_s r_0^2 = {}^{r_0^3}/_{a_0}\neq 1$.

И если это неправильно, я даже не осмеливаюсь попробовать свои силы в$(R\mathcal{B})$, итак: Что я сделал не так/не правильно понял?

Спасибо!