Как в материале возникает уравнение теплопроводности из фононов? А от электронов?

Хотя я понимаю и подтверждаю ваш вопрос, он содержит некоторые необоснованные предположения. Я постараюсь дать лучшее понимание и надеюсь, что это прояснит, но, хотя вы отвергаете модель Друде-Зоммерфельда, весь смысл понимания ренормгруппой конденсированной материи заключается в том, что приблизительные объяснения обычно содержат правильные и соответствующие феноменологические объяснения.

1] Для проводников: идея теоремы Блоха состоит в том, чтобы оправдать рассмотрение электронов как свободного газа, поскольку в модели Друде-Зоммерфельда, пока мало примесей/дефектов, содержатся правильные физические объяснения, ошибка составляет O(1 ) факторы. Итак, если вы хотите начать с блоховских электронов и разреженных примесей, первым шагом будет оценка сечения квантово-механического рассеяния между электронами и ядрами. Это упражнение из учебника КМ, но вам придется использовать эффективную массу электрона (зависит от материала) и экранированный кулоновский потенциал (это просто экспоненциальный член поверх кулоновского взаимодействия, но с масштабным коэффициентом, зависящим от материала). Получив поперечное сечение, действуйте, как обычно для модели Друде-Зоммерфельда, как в любом учебнике.

Это предполагает приближение Борна-Оппенгеймера. Если вы начнете работать с этим, вы поменяете качающиеся дефекты/примеси на статические плюс фононы. В этом случае используйте правила Фейнмана, чтобы вычислить новое сечение с учетом фонон-электронных взаимодействий и вычислить поправку. Как обычно в теории возмущений, это просто даст дополнительные члены в поперечном сечении.

Поэтому модель Друде-Зоммерфельда уже содержит физическое объяснение переноса тепла в металлах, все квантово-механические соображения изменят только числовые детали сечения рассеяния и, таким образом, изменят только числовое значение теплопроводности. Нужно беспокоиться только в том случае, если у вас много-много примесей / дефектов, тогда вы можете получить изолятор Андерсона, но тогда теорема Блоха больше не применяется. Или сильные взаимодействия, и тогда у вас могут быть изоляторы Мотта. В любом случае перейдите к [2]

2] Для изоляторов: здесь, еще проще, электроны связаны с ядрами, поэтому мы ищем только распространение фононов. Это газ свободных бозонов с поправками, обусловленными фонон-фононными взаимодействиями, возникающими в теории возмущений.

Таким образом, вы можете начать с «истинного гамильтониана» группы атомов, взаимодействующих через кулоновские силы, применить приближение Борна-Оппенгеймера, и тогда у вас останутся бозоны и фермионы, взаимодействующие пертурбативно. Обработайте соответствующее поперечное сечение до желаемого порядка связи, а затем следуйте сигналам Друде-Зоммерфельда, которые представляют собой просто прикладное уравнение Больцмана.

Если что-то не так, то это потому, что у вас сильные взаимодействия, в этом случае теория возмущений не оправдывается, и вы в конечном итоге получаете эффект Андерсона или изоляторы Мотта.

Также имейте в виду, что уравнение Фурье экспериментально справедливо только для твердых материалов при небольших перепадах температур. Таким образом, 10-сантиметровый железный стержень, каждый конец которого находится при очень разных температурах, не будет подчиняться обмену Фурье, но также будет иметь волнообразный перенос (из-за электронов Блоха), который может преобладать. У Джоэла Лебовица в конце 1990-х и начале 2000-х годов было несколько статей, в которых обсуждались экспериментальные ограничения уравнения Фурье.