Как рассчитать радиус кривизны FLRW-вселенной через плотность энергии ρρ\rho?

Радиус кривизны во вселенной FLRW равен

$$R_k=\frac{c}{H \sqrt{-Ω_k}}$$

так что вам нужен параметр Хаббла

$$H=H_0 \sqrt{\Omega_R \ a^{-4}+\Omega_M \ a^{-3}+\Omega_K \ a^{-2}+\Omega_{\Lambda}}$$

и параметр кривизны

$$\Omega_k= \frac{\rho_k}{\rho_c} \ , \ \ \rho_k = \frac{\rho_K}{a^2} \ , \ \ \rho_K=\Omega_K \ \rho_c \ , \ \ \rho_c=\frac{3H^2}{8 \pi G}$$

Заглавные нижние индексы представляют текущие значения, а строчные — значения, зависящие от коэффициента масштабирования. Текущий параметр кривизны$\Omega_K=1-\Omega_T$где

$$\Omega_T=\Omega_R+\Omega_M+\Omega_{\Lambda}$$

Время по масштабному коэффициенту равно

$$t=\int_0^a \frac{1}{a' \ H} \, {\rm d}a'$$

и в целом масштабный коэффициент по времени должен решаться численно, если вы не предполагаете плоскостность и не пренебрегаете излучением, тогда обратную функцию можно решить аналитически.

Итак, чтобы найти свой радиус кривизны за заданное время$t$сначала найдите соответствующий масштабный коэффициент$a$, подставьте его в уравнения для$H$и$\Omega_k$и рассчитать$R_k$.

Расстояние от себя до себя - это окружность$C=2 \pi R_k$а собственный объем замкнутого пространства есть площадь соответствующей гиперсферы$V=2 \pi^2 r^3$