Что касается Вселенной, разве «почти плоская» не означает «не плоская»?

(Почти) дубликат ответа, который я написал ранее:

Гипотезы однородности и изотропии приводят к метрике FLRW для Вселенной, а именно:

$$ds^2 = cdt^2 - a(t)^2\left [ \dfrac{dr^2}{1+kr^2/R^2}+r^2 d^2\Omega \right ]$$ где $R$- радиус кривизны Вселенной и $k$может принимать значения -1, 0 или 1 для сферической, плоской или гиперболической вселенной. Этот результат является прямым следствием космологического принципа.

Чтобы вывести связь между этими параметрами и содержимым Вселенной, нужно применить уравнения Эйнштейна. Таким образом, получают так называемые уравнения Фридмана:

$$\left\{\begin{matrix} \dot{a}^2-\dfrac{8 \pi G}{3c^2} \displaystyle \sum_i \rho_i a^2 & = & \dfrac{kc^2}{R^2} \\ \dfrac{d}{dt}\left ( \rho_i a^3 \right ) & = & -P_i \dfrac{d}{dt} \left (a^3 \right) \\ \end{matrix}\right.$$ Где $\rho_i$и $P_i$обозначают плотность энергии и давление каждого компонента Вселенной, поведение которых определяется их уравнением состояния (например, $P = 0$для пылевидного вещества, $P=\rho/3$для радиации, $P=-\rho$для темной энергии.)

Текущая стоимость$a$равно 1. Оценивая первое уравнение в настоящее время$t_0$, и используя определение постоянной Хаббла$H_0 = \dot{a}(t_0)/a(t_0) = \dot{a}(t_0)$, мы нашли :

$$H_0^2 - \dfrac{8 \pi G}{3c^2} \displaystyle \sum_i \rho_i = \dfrac{kc^2}{R^2}$$

Удобно определить критическую плотность как$\rho_c = 3c^2 H_0^2/(8\pi G)$, так что :

$$\rho_c - \displaystyle \sum_i \rho_i = \dfrac{3c^2}{8 \pi G} \dfrac{kc^2}{R^2}$$

Этот результат означает, что Вселенная сферическая, если полная плотность энергии превышает$\rho_c$, плоская, если они равны, и гиперболическая, если общая плотность меньше. Вот как кривизна связана с содержанием вселенной. Вы можете видеть, что это не зависит от распределения плотности (т.е. сколько темной энергии, а сколько другой). Один из способов количественной оценки отклонения Вселенной от плоской геометрии состоит в том, чтобы оценить параметр плотности кривизны.$\Omega_k$определяется как :

$$\begin{equation} \Omega_k \equiv \dfrac{\rho_c-\rho}{\rho_c} \end{equation}$$

Но это также равно, согласно уравнениям Фридмана:

$$\begin{equation} \Omega_k = \dfrac{kc^2}{H_0^2R^2} \end{equation}$$

Таким образом, вы можете интерпретировать с точки зрения относительной разницы плотности энергии по сравнению с критической плотностью энергии (1-е выражение) или в геометрических терминах (2-е выражение). Обратите внимание, что тензоры/скаляры кривизны или в$\mathcal{O}(1/R^2)$.

Самые жесткие ограничения на$\Omega_k$получены путем анализа анизотропии реликтового излучения и совместимы с плоской Вселенной ($|\Omega_k| < 5 \times 10^{-3}$, arXiv:1502.01589 ), но существуют и другие способы измерения этого параметра с помощью стандартных свечей и стандартных линеек.

Теперь вернемся к заголовку вашего вопроса. В физике, как всегда, непрерывные параметры не могут быть измерены с бесконечной точностью. Таким образом, в некотором смысле «почти плоский» можно понимать как «наши измерения совместимы с тем, что он плоский». Кроме того, если вы посмотрите на выражение для$\Omega_k$, вы можете видеть, что она пропорциональна$R_H^2/R^2$, где$R_H = c/H_0$радиус Хаббла. Радиус Хаббла более или менее говорит вам о размере видимой Вселенной. Таким образом, малая кривизна означает, что радиус кривизны намного больше, чем размер видимой Вселенной. Если вспомнить, что до недавнего времени параметр кривизны был малоизвестен (некоторое время считалось$\sim 10 \%$), то "почти плоский" просто подчеркнет совпадение того, что$\rho$и$\rho_c$по крайней мере одного порядка. В настоящее время стандартная модель космологии (стандартная$\Lambda$CDM) включает в себя инфляционную эпоху, которая имеет тенденцию резко сглаживать пространство, поэтому$\Omega_k$в этой модели по умолчанию установлен на 0 (иногда выражается как$\Omega_M+\Omega_{\Lambda} = 1$).

Я буду ссылаться на предыдущий пост обмена стеками по космологии, который я написал. Уравнение энергии, которое я вывожу с помощью ньютоновской механики, в общей теории относительности модифицируется следующим образом:

$$\left(\frac{\dot a}{a}\right)^2 = H^2 = \frac{8\pi G\rho}{3} + \frac{k}{a^2},$$ где $k~=~0$соответствует плоскому пространству для космологии. Для $k~=~1$пространственное многообразие сферическое и замкнутое и для $k~=~-1$пространственное многообразие гиперболическое и открытое. Любопытно то, что, поскольку последний член зависит от величины, обратной квадрату масштаба, его физические следствия могут быть очень тонкими. Для большой космологии или космологии, которая расширялась в течение длительного периода времени, очень трудно установить форму пространственной поверхности. Очень большая сфера может локально казаться плоской.