Как рассчитать время прохождения для конкретного участка орбиты?

Я искал высоко и низко, и я не смог найти формулу для этого.

Я пытаюсь рассчитать время, необходимое для прохождения определенной длины дуги эллиптической орбиты, начальная и конечная точки которой равноудалены от предопределенной точки:

длина дуги

У меня уже есть длина дуги, и я знаю, как найти свою мгновенную скорость в любой точке орбиты. Чего я не знаю, так это того, как рассчитать время, необходимое для завершения этой длины дуги, поскольку объект будет постоянно менять скорость во время прохождения.

Могу ли я просто взять среднее значение своих скоростей в начале, конце и середине дуги? Начальная и конечная точки должны быть одинаковыми, верно?

Скажем, моя скорость составляет 9900 м/с в начале моей дуги, 10100 м/с в перицентре и снова 9900 м/с в конце дуги. Могу ли я просто разделить длину дуги на среднее значение этих скоростей, чтобы получить время прохождения, или это будет сложнее?

ОБНОВЛЕНИЕ: я думаю, что решил проблему, используя простую геометрию! Я понимаю, что это было бы проще с исчислением, но я еще не изучил его, поэтому пока я буду придерживаться этого решения.

Вот изображение калькулятора в действии: https://gfycat.com/GleefulSaneHypacrosaurus

Я пошел со вторым законом Кеплера, как предложил ответ @rob. Но мне пришлось пойти на небольшой трюк, потому что я не мог понять, как вычислить площадь сектора дуги из фокуса, а Geogebra позволяет найти площадь сектора только из центра.

Итак, я сделал треугольник от центра до каждой конечной точки дуги и вычел эту площадь из площади сектора дуги, включая изогнутую часть, так что я получил только площадь изогнутой части.

После этого я просто добавляю площадь изогнутого участка к площади треугольника от фокуса, занятого планетой, до двух конечных точек дуги, чтобы получить общую площадь, заметаемую на этом участке орбиты.

Затем я пошел дальше и разделил общую площадь эллипса на площадь этого сектора.

Наконец, я взял общий период обращения и разделил его на число, полученное на предыдущем шаге. Это дает число в секундах, которое выглядит разумным, и возвращает правильные значения, когда эксцентриситет очень близок к 0.

Но я только на 99,99% уверен, что это правильно. Кто-нибудь может подтвердить мои результаты? Я очень ценю помощь каждого, но опять же, исчисление сейчас немного выше моей головы.

Решения в закрытой форме для траекторий, зависящих от времени, неизвестны, однако их можно выразить с помощью набора вновь определенных функций, как показано, например, в этой недавней публикации: file.scirp.org/Html/12-4500390_52772.htm . На практике численное интегрирование, вероятно, проще и дешевле на современном компьютере.
Привет, @блогон. Я откатил ваше обновление, потому что вы случайно удалили свой исходный вопрос. Добавленная вами информация находится в истории редактирования, если некоторые из них должны быть включены в ваш вопрос, но я чувствовал, что ваше редактирование сделало недействительными некоторые из ответов, которые у вас уже были.
@Роб, без проблем! Я снова обновил ОП, на этот раз включив исходный вопрос и добавив обновление внизу сообщения. Я надеюсь, что это нормально.

Ответы (3)

Вам нужно уравнение Кеплера ,

М "=" Е − е грех ⁡ Е
где М — величина, называемая средней аномалией , e — эксцентриситет орбиты, а Е называется эксцентрической аномалией , определяемой этой диаграммой, где солнце находится в Ф и С является центром эллипса (расстояние е на схеме должно быть а е ).эксцентрическая аномалия

Количество М просто 2 π т / Т где Т - орбитальный период и т измеряется так, что т "=" 0 в перицентре (чтобы М "=" 0 совпадает с Е "=" 0 ). Таким образом, если вы можете вычислить эксцентрическую аномалию для двух точек на орбите, скажем Е 1 , Е 2 , время прохождения т является

т "=" Т 2 π ( М 1 − М 2 ) "=" Т 2 π ( Е 1 − Е 2 − е ( грех ⁡ Е 1 − грех ⁡ Е 2 ) )

Возможно, угол ф на диаграмме выше, называемая истинной аномалией , легче вычислить. В таком случае, ф и Е связаны

загар ⁡ ф 2 "=" 1 + е 1 − е ⋅ загар ⁡ Е 2
который можно решить для Е .

Учитывая вашу мгновенную скорость в → ( Икс → ) , а также ваши начальная и конечная точки, скажем п 1 , п 2 , просто интегрируйте его в пространстве:

△ т "=" ∫ п 2 п 1 ( д Икс → д т ) − 1 д Икс →

Вау. Я никогда раньше не занимался интегралами, поэтому я, честно говоря, не совсем уверен, на что смотрю. Мне не повезло, пока я не выучу такую ​​математику?
Ты не. dx/dt — это ваша скорость, вы можете ввести свои известные значения в любой интегральный решатель онлайн, и он вам поможет. Я уверен, что вы можете понять это оттуда. (: Счастливого укуса
Я просмотрел интегралы и думаю, что начинаю понимать, но, возможно, нет, поэтому я хочу провести это с вами. Когда вы говорите интегрировать p1 и p2, вы имеете в виду, что p1 равно 0, а p2 — длине дуги, да? dx/dt аналогично м/с? Тогда сам по себе dx равен длине дуги? Какую точку выбрать для скорости в (dx/dt)? На самом деле я использую Geogebra для построения своего эллипса и моделирую космический корабль как точку, движущуюся по эллипсу. Итак, я думаю, что путаю свою скорость с фактическим значением x некоторых точек на графике?
Если у вас нет явной функции для скорости (я думал, что она у вас есть), но вы можете найти ее в каждой точке... нарисуйте ее на графике. Функция, которая соответствует этой кривой, является скоростью. Кроме того, как вы и другие предложили, вы можете принять приближение
Может быть, я запутался. Я думал, что формула для скорости была sqrt(GM((2/r) - (1/a))), которую я использую. Для пояснения, я использую Geogebra для этих расчетов. В частности, я пытаюсь определить время прохождения темной стороны. Итак, у меня есть эллипс, который определяется пользовательским вводом апоцентра и перицентра, и у меня есть ширина тени планеты, которая определяет конечные точки эллиптических секторов, для которых я пытаюсь найти время прохождения.
Тогда это скорость, которую вы вводите в свой интеграл. Извините, я не знал, что у вас нет опыта исчисления, когда я сначала ответил. после работы напишу еще
Ах. Извините, я определенно должен был упомянуть об этом в ОП. Редактирую сейчас. Я также на самом деле нашел то, что я считаю рабочим решением. Я обновлю OP своими выводами для подтверждения.

Ответ Р. Рэнкина дает вам общее решение, когда известна скорость вдоль кривой. Если вас интересуют эллиптические орбиты из-за гравитационных взаимодействий, вы можете использовать законы Кеплера.

Второй закон Кеплера гласит, что время, необходимое объекту на эллиптической орбите, пропорционально площади, заметаемой линией, соединяющей вращающееся тело с фокусом эллипса. Таким образом, одним из методов было бы вычисление площади, соответствующей интересующему вас сегменту дуги, как части общей площади ( А "=" π а б для эллипса с большой и малой осями а , б ), что дает вам время, необходимое как часть периода орбиты.

Если интересующий вас интервал вокруг апоцентра мал (как показано на рисунке) и ваши требования к числовой точности скромны, вы можете представить соответствующий фрагмент эллипса одним или двумя треугольниками, площадь которых довольно легко вычислить. . Если вам нужна большая точность, используйте больше треугольников , чтобы точнее следовать кривой. (Это численное интегрирование .)

Спасибо за этот ответ. Не могли бы вы взглянуть на ОП? Я обновил его тем, что я считаю решением, которое я нашел.
Как рассчитать время прохождения для конкретного участка орбиты?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v