Как рычаги усиливают силы?

Я согласен с Бенджамином Францем в том, что модель твердого тела в виде шара и пружины полезна и что, когда твердое тело оказывает контактное усилие, связи между атомами в этой области искажаются. Если вы возьмете балку, зажмете ее концы, а затем приложите к ней силу не по центру, связи на короткой стороне исказятся больше, чем связи на длинной стороне. Следовательно, на зажим действует большее усилие, которое ближе к приложенной силе. Диаграмма ниже иллюстрирует это:

Несмотря на то, что ответ @Noah дает некоторое представление, я должен не согласиться с утверждением, что «облигации на короткой стороне искажаются больше». «Чистое» искажение, вероятно, одинаково с каждой стороны.

Я предоставлю цифру, аналогичную @Noah's. Есть два черных прямоугольника, которые представляют два веса, но пока давайте предположим, что они жесткие. Они также находятся на той же высоте с теми же размерами.

Когда вы прижимаете прямоугольники к балке, колено (точка опоры) будет препятствовать перемещению, поэтому на концах произойдет деформация. Предполагая, что мы сохраняем одинаковую высоту между прямоугольниками, вертикальная деформация на каждом из концов балки будет одинаковой.

Однако сила, необходимая для такой деформации в левом прямоугольнике, будет меньше силы, необходимой для прямоугольника справа. Чтобы дать некоторое представление о том, почему это происходит, я нарисовал сценарий, в котором вам придется согнуть более длинную часть балки (L1) и более короткую часть (L2):

Я думаю, что по опыту вы уже знаете, что во втором случае (более короткая балка) согнуть балку гораздо труднее и нужно приложить большее усилие (*). Итак, если вы объедините эти два случая и вернетесь к исходному примеру, вы, вероятно, поймете, что действительно нужно приложить большую силу к L2 по сравнению с L1.

Если мы будем думать с точки зрения веса, а не двух черных прямоугольников, то теперь вы можете понять, почему небольшая сила на конце L1 потребует большей силы на L2, чтобы сбалансировать систему, деформируя одинаковую величину на каждом конце. В типичной реальной ситуации рычаг не был бы так деформирован. Тем не менее изгибающее действие и внутренняя геометрия рычага все же объясняют это явление.

• (*) Бонус: Если вам интересно, почему меньшую балку труднее согнуть по сравнению с более длинной, вы можете изучить балку, используя модель шариковой пружины на атомном уровне. Думая о балке с точки зрения пружин, более длинная сторона имеет эквивалентную осевую пружину, которая намного длиннее, чем комбинированные осевые пружины с более короткой стороны. Если вы помните из физики, короткую пружину тянуть гораздо труднее, чем длинную. Вы можете попробовать это сами, но объяснение этому — совсем другая тема. Когда вы «толкаете» груз в более длинную сторону балки (или черный прямоугольник), он неизбежно изгибает балку таким образом, что «пружины» вверху растягиваются, а пружины внизу сжимаются (подробнее см. «Изгибающий момент»). об этом). Это означает, что существует внутреннее напряжение из-за осевых сил, подобное тому, как вы толкаете пружину. Ниже у вас есть грубая картина, объясняющая существование осевой силы (F1). Вес (F) разлагается на перпендикулярную к балке силу (F2) и осевую силу (F1). Обратите внимание, что это упрощение, поскольку распределение внутренней осевой силы меняется по поперечному сечению.

  

• Дополнительно : недавнее обсуждение с @DS заставило меня вспомнить, что это аналогичная ситуация с усилением силы в жидкостях: то, что передает силу от меньшего поршня и усиливает ее к большему поршню, - это давление , а не фактическая сила. Здесь все аналогично: усилие усиливается изгибающим напряжением внутри балки, создаваемым толчком на более длинной стороне рычага и передаваемым на более короткую сторону.

  Относительно того, почему передается давление/напряжение, а не сила, это, вероятно, связано с тем, что передается энергия , а не сила. Предполагая отсутствие потерь тепла, имеет место сохранение энергии (либо при изгибе рычага, либо в примере с поршнем): даже если сила увеличивается, расстояние (до веса) уменьшается, поэтому их произведение («энергия / работа» ) одинакова с обеих сторон системы. Если кто-то хочет добавить некоторые комментарии к этой части, я был бы очень признателен.

Есть два довольно простых способа понять это:

• Как задача в «статике» с участием сил и моментов на рычаге .
• С точки зрения сохранения энергии между работой, совершаемой человеком, управляющим рычагом, и работой поднятого груза.

Настраивать

Мы для простоты рассмотрим ситуацию, когда рычаг практически горизонтален (доказательство того, что результаты сохраняются при других углах, остается в качестве упражнения), и будем рассматривать рычаг как прямой стержень длиной$l = l_1 + l_2$. На стержень действуют три силы, приложенная сила$F_a$действует вниз на расстоянии 0, сила точки опоры$F_f$действует вверх на расстоянии$l_1$, а нагрузка$F_l$действует вниз на расстоянии l.

Обратите внимание, что до сих пор я ничего не говорил о соотношении$l_1/l_2$.

Статика

Мы требуем, чтобы$\sum F_i = 0$и$\sum \tau_i = 0$(сумма сил и сумма моментов, действующих на стержень, равны нулю). Я измерю крутящие моменты вокруг точки опоры.

Сразу видно, что система недоограничена и у нас есть один свободный параметр; что вес груза, так выразим$F_a$и$F_f$с точки зрения$F_l$.

Из уравнения вращающего момента получаем$F_a = \frac{l_2}{l_1} F_l$, и подставив это в уравнение сил, мы получим$F_f = (1 + \frac{l_2}{l_1}) F_l$.

Энергетические проблемы

В лучшем случае машина не тратит энергию впустую; мы предполагаем этот случай.

Пока стержень движется на небольшой угол$\alpha$вблизи горизонтали приложенная сила перемещается на расстояние$-\alpha \cdot l_1$, а нагруженный конец через расстояние$\alpha \cdot l_2$, вычисляя работу, проделанную с каждой стороны, мы получаем

По предположению, они должны добавить к нулю, поэтому

как прежде.

Выводы

Если нагрузка находится на коротком конце, то$l_2 < l_1$и$\frac{l_2}{l_1} < 1$и вам требуется меньшая сила, чтобы поднять груз, но груз перемещается на более короткое расстояние.

Если нагрузка находится на длинном конце, то$l_2 > l_1$и$\frac{l_2}{l_1} > 1$и вам требуется больше силы, чтобы поднять груз, но груз перемещается на большее расстояние.

Проблема возникла передо мной давным-давно: «Откуда вес, свисающий с одного конца горизонтального стержня, знает, как далеко находятся ось и другой груз?» Я обнаружил, что на это можно ответить, только если позволить стержню некоторую толщину, при которой он может иметь внутреннюю структуру.

При использовании конструкции, состоящей из шарнирно соединенной решетки из распорок и связей, закон$F_1x_1=F_2x_2$возникает просто путем применения условия равновесия сил в каждом штифтовом соединении.

Прилагаю упрощенную (возможно, чрезмерно упрощенную) версию рассуждения.

Это может быть подвергнуто критике, потому что я придал двум сторонам стержня структуры с разными пропорциями. Аргумент работает очень похоже и дает тот же результат, если по обе стороны от оси имеется одинаковая решетчатая структура, только больше единиц решетки на длинной стороне стержня.

Все зависит от точки поворота рычага и от затраченной энергии, а не от приложенной силы. Если точка поворота находится на одной четверти длины рычага от нижней части рычага, и вы прикладываете силу F к верхней части рычага, чтобы переместить верхнюю часть на расстояние D, результатом будет то, что нижняя часть рычага пройдет треть расстояния от вершины. (Т.е. 3/4 длины, разделенные на 1/4 длины относительно точки поворота). Энергия, затрачиваемая в верхней части рычага, равна FxD. Поскольку энергия на входе равна энергии на выходе, а нижняя часть рычага перемещается только на 1/3 D, то сила, действующая на нижнюю часть рычага, является трехмерной. (т.е. в 3 раза больше силы, приложенной к верхней части рычага), но она была приложена на более коротком расстоянии. Надеюсь, что это то, что вы ищете, и надеюсь, что я ясно дал понять. Прошло 60 лет с тех пор, как меня этому учили.

Я считаю ответ dmckee ошибочным, потому что в нем не упоминается земля.

На самом грубом уровне Земля ускоряется вниз, а большой объект ускоряется вверх. На уровне ньютоновской механики каждое действие имеет равное и противоположное противодействие.

Точнее говоря, центр масс Земли, точка опоры, рычаг, толкающий человек и крупный объект, взятые вместе как единая составная система, остаются неподвижными (точнее, движущимися с постоянной скоростью), но положения и скорости пяти внутренних компонентов относительно друг друга изменяются под действием контактных сил (которые мы можем принять в конечном счете за бесконтактные гравитационные, электромагнитные и ядерные силы, а понимание строения материи в конечном счете требует КМ), которые действуют между ними. На этом уровне моделирования ускорение Земли (в модели) будет немного другим (и таким же, как ускорение точки опоры), потому что часть человека, который толкает, также ускоряется вниз,

При повышении уровня детализации каждый из пяти компонентов также является составным. Я могу согнуть руку, чтобы приложить направленную вниз силу, потому что я могу отрегулировать внутреннюю геометрию моей руки относительно другой части, используя химическую энергию (которую опять же мы можем считать в конечном счете электромагнитной и ядерной энергией, а также квантовой механикой).

Хотя вы пометили этот КМ, его можно достаточно хорошо понять с точки зрения классической механики и ЭМ. Строение материи интересовало естествоиспытателей конца 19 века, но все было достаточно под контролем, чтобы они почти не замечали, что заметают проблемы под ковер до Планка.