Чтобы орбита была стабильной в краткосрочной перспективе, она должна находиться в пределах сферы Хилла своей основной. Для круговой орбиты радиус этой сферы примерно равен:

$$r = a\sqrt[3]{\frac{m}{3M}}$$

где a— большая полуось орбиты основного объекта вокруг его родительского объекта, m— масса основного объекта, а — масса родительского объекта M.

Для долгосрочной стабильности орбита должна быть ближе к своей основной; обычно от 1/2 до 1/3 радиуса сферы Хилла.

Например, сфера Лунного холма имеет радиус 61 645 км*, а консервативная оценка долговременного стабильного радиуса составляет 20 548 км. Радиус Луны составляет 1738 км, поэтому любая орбита на высоте менее 18 810 км над поверхностью будет стабильной в долгосрочной перспективе**.

Вы можете продолжать складывать луны до тех пор, пока каждая луна достаточно плотная, чтобы ее сфера Хилла была больше, чем ее радиус. Чтобы максимизировать глубину вашего стека, каждая луна должна быть как можно дальше от своей основной.

* На самом деле она примерно на 5% меньше, потому что орбита Луны эллиптическая с эксцентриситетом 0,055.

**Вроде, как бы, что-то вроде. Подойдите слишком близко к поверхности, и локальные изменения гравитационного поля сделают орбиту нестабильной.

В этом ответе я сделаю некоторые предположения:

Две луны имеют массы$m_1$а также$m_2$и вращаться вокруг планеты массы$m_p$, куда$m_1, m_2\ll m_p$. Планета находится достаточно далеко от звезды, поэтому любые гравитационные/приливные эффекты от этой звезды незначительны. Нет никаких других планет, способных дестабилизировать какие-либо спутники на орбитах, достаточно близких к планете (т.е. в пределах ее сферы Хилла). Это, наряду со вторым предположением, означает, что мы можем эффективно рассматривать лунную систему как миниатюрную планетную систему.

Есть два случая, на которые стоит обратить внимание: где$m_1 \gg m_2$, и где$m_1\sim m_2$.

1.$m_1 \gg m_2$

В этом сценарии мы видим возможность$m_1$захват$m_2$точно так же, как считается, что Нептун захватил Тритон, в результате столкновения трех тел без столкновений.$m_2$изначально была частью какой-то бинарной лунной системы (см. мой второй раздел), которая затем взаимодействовала с$m_1$; другой бинарный партнер был выброшен и$m_2$стал спутником$m_1$(см. Агнор и Гамильтон (2006) ). Предполагая, что выброшенный бинарный партнер имел массу$m_3$, три тела должны были бы взаимодействовать на расстоянии

$$r=a\left(\frac{3m_1}{m_2+m_3}\right)^{1/3}\tag{1}$$ куда$a$являлась большой полуосью$m_2$а также$m_3$. Не должно быть никаких проблем с применением этой модели к лунной системе.

2.$m_1\sim m_2$

Это отдельный сценарий, но я понял, что он также необходим для объяснения формирования исходной бинарной системы в первой установке. Его преимущество в том, что не требуется никакого третьего тела (и, следовательно, не нужна никакая другая бинарная система), но его недостаток в том, что относительно узкий класс начальных орбит позволит успешно закончить.

Очай и др. (2014) применяют явление диссипации приливной энергии к образованию двойных планет (здесь мы применяем его к двойным спутникам, потому что если$m_1~m_2$, возможно, правильнее будет называть систему бинарной системой, а не спутником и субспутником). Учитывая радиусы$R_1$а также$R_2$и перицентральное расстояние$q_{12}$, энергия, рассеиваемая после каждого столкновения, равна

$$E=\frac{Gm_1^2}{R_2}\left[\left(\frac{R_2}{q_{12}}\right)^6T_2(\eta_2)+\left(\frac{R_2}{q_{12}}\right)^8T_3(\eta_2)\right]+\frac{Gm_2^2}{R_1}\left[\left(\frac{R_1}{q_{12}}\right)^6T_2(\eta_1)+\left(\frac{R_1}{q_{12}}\right)^8T_3(\eta_1)\right]\tag{2}$$ куда$\eta_i\equiv[m_i/(m_1+m_2)]^{½}$а также$T_2$а также$T_3$являются полиномиальными функциями пятой степени с коэффициентами, приведенными в Portegies Zwart & Meinen (1993) .

Авторы провели моделирование трех газовых планет-гигантов, вращающихся вокруг звезды (в некоторых симуляциях участвовали две, а в других третья играла второстепенную роль), и получили разные результаты для разных значений большой полуоси внутренней планеты:

^{Здесь «HJs» означает «Горячие юпитеры».}

Конечно, долгосрочная (или даже краткосрочная!) стабильность может быть проблематичной, особенно из-за приливных взаимодействий с родительской планетой. Однако многие установки приведут к успешному формированию двойной планеты.

Все это, конечно, предполагает, что менее массивная луна находится в сфере Хилла более массивной.