Как симметрия переноса времени трансформируется в эволюцию во времени?

Это не имеет ничего общего с квантовой механикой. Точно то же самое можно сказать и в классической гамильтоновой механике, где гамильтониан является генератором переноса времени в том смысле, что скобка Пуассона$\{H,A\}$(квантовый аналог: коммутатор$[H,A]$) представляет собой бесконечно малую эволюцию$A$и поток связанного с ним гамильтонова векторного поля $X_H$(квантовый аналог: экспоненциальная$\mathrm{e}^{\mathrm{i}Ht}$) является конечным переводом времени. ¹

Перевод времени — это то же самое, что эволюция времени — тавтология. Нет никакой разницы между «время идет само по себе» и «объект движется во времени», по крайней мере, не в формализме. Может быть, попробуйте провести аналогию с позицией, чтобы увидеть, что здесь действительно нечего обсуждать. Ты мог бы сказать:

Но мне кажется, что$x$в операторе пространственного перемещения — это объем пространственного перемещения, которым я занимаюсь, а не пройденное мной физическое расстояние. Я не понимаю, как Баллентайн может отойти от идеи, что симметрия законов природы в пространстве подразумевает, что пространственное перемещение может быть описано$T_x(x)=exp(ixp)$, к идее, что этот оператор можно применять для описания изменения положения состояния в пространстве.

В частности, имеет ли для вас смысл первое предложение из приведенного выше? Для меня это не так, «пространственный перевод, которым я занимаюсь» и «физическое расстояние, которое я преодолеваю» — одно и то же, как и «временной перевод, которым я занимаюсь» и «физическое время, которое проходит». Течение времени такое же, как и все объекты, перемещающиеся во времени, скорее по определению того, что мы имеем в виду, когда говорим, что время проходит. Когда расстояние проходит мимо вас, вы занимаетесь пространственной трансляцией, когда время проходит мимо вас, вы занимаетесь трансляцией времени.

Наконец, позвольте мне рассмотреть еще одну путаницу, которая, кажется, просвечивает, когда в вопросе упоминается «симметрия»: для этой идеи операторов, порождающих однопараметрические группы посредством возведения в степень, совершенно не имеет значения, является ли оператор/ группа симметрией или нет. Гамильтониан генерирует сдвиг во времени независимо от того, симметрична ли система во времени или нет. Импульс генерирует пространственный перенос независимо от того, является ли система инвариантной по Галилею (или Пуанкаре) или нет. Не из симметрии следует экспонента оператора$A$с$[A,B] = \mathrm{i}\hbar$описывает переводы на$B$, а чистая алгебра, которой все равно,$\exp(A)$или$\exp(B)$являются симметриями чего-либо.

---

¹ Между прочим, векторное поле и экспонента не так уж отличаются, как можно было бы подумать. В обоих случаях существует алгебра Ли — векторных полей в классическом случае и эрмитовых операторов в квантовом — имеющая экспоненциальное отображение в (возможно, бесконечномерную) группу Ли — группу диффеоморфизмов (возможно, симплектоморфизмов) в классическом и группу унитарных операторов квантово.

Я также читаю Ballentine, и у меня был именно этот вопрос. Я добавил награду, но теперь меня устраивает приведенное ниже объяснение. С радостью присудит награду, если кто-то объяснит это более ясно!

Вот мое понимание логики, используемой для получения уравнения 3.38: для моделирования временных зависимостей наблюдаемого значения$\langle \mathrm{A} \rangle = \langle \Psi | A | \Psi \rangle$, у нас есть свобода либо сделать вектор состояния$\langle \Psi |$зависит от времени и$A$не зависит от времени (картина Шрёдингера) или наоборот (картина Гейзенберга). В картине Шредингера мы определяем $|\Psi(t)\rangle$быть вектором, который можно использовать для предсказания времени$t$в соответствии с формулой$\langle \mathrm{A}(t) \rangle = \langle \Psi(t) | A | \Psi(t) \rangle$. Вектор$|\Psi(t)\rangle$не следует интерпретировать как физически существующие в данный момент$t$! Следовательно, нет прохождения «физического времени», которое, надеюсь, разрешит ваше замешательство. По соглашению мы также определяем наблюдаемую$A$таким образом, что если мы проанализируем систему относительно конкретной системы отсчета и получим вектор состояния$|\Psi\rangle$, затем$\langle \mathrm{A} \rangle = \langle \Psi | A | \Psi \rangle$будет предсказание на время$0$этого кадра.

Следовательно, по определению вектор состояния, полученный в результате анализа системы относительно текущего кадра, равен$|\Psi(0)\rangle$. Если мы рассмотрим наблюдателя в другой системе отсчета, время которого$0$соответствует времени$t$в текущем кадре полученный ими вектор состояния обязательно будет$|\Psi(t)\rangle$, так как его можно использовать для получения прогнозов на время$t$исходного кадра. Поскольку второй кадр — это просто временной сдвиг первого$-t$, два вектора состояния связаны соотношением$|\Psi(t)\rangle = e^{-iHt}|\Psi(0)\rangle$, и дифференцируя, получаем уравнение 3.38.

Вы правы насчет картин квантовой механики, и аргумент, выходящий за рамки вывода Баллентайна, можно переформулировать так, как вы это сделали. Единственное, что можно возразить здесь, это когда вы говорите, что$t$это не физическое время.

Подробное обсуждение роли времени в основах физики можно найти в « Математических методах классической механики» Арнольда, потому что, как упоминалось ранее, роль времени в нерелятивистской квантовой механике такая же, как и в классической механике: просто параметр. Это можно увидеть и в книге Баллентайна, чуть ниже уравнения (3.2) автор рассматривает семейство операторов$U(s)$где$s$— любой непрерывный параметр . Позже, чуть выше уравнения (3.38), говорится, что$t=s$. Так что это$t$, непрерывный параметр.

Почему же тогда оказывается трудно иметь дело с понятием времени в квантовой механике? Потому что в классической механике человек опирается на ежедневный физический опыт, а время просто присутствует (как и в основах классической механики). Хотя определить время может быть сложно, все знают, что вы имеете в виду, когда говорите о времени в классической механике. Итак, разница заключается в ограничениях, которые мы имеем в квантовой механике, чтобы полагаться на повседневный опыт, потому что все макроскопично.

В заключение, если хотите, можете считать$t$как нечто нефизическое, просто математическая сущность, непрерывный параметр, определяющий унитарное преобразование$e^{isH}=e^{itH}$. При этом все ваши рассуждения верны, возражений нет. Тем не менее, я не нахожу ничего плохого в этом$t$как физическое время, хотя мы и не видим микроскопических систем в нашем повседневном опыте, перевод времени, который вы определили в конце, является тем же самым переводом, который мы наблюдаем в классической механике.

С этим пояснением я просто сделаю несколько комментариев по поводу других вещей, на которые вы ссылаетесь, и, наконец, перефразирую аргумент Баллентина со всеми промежуточными деталями:

1. Обе картины квантовой механики можно использовать как угодно. Следовательно, должна быть ситуация, когда они совпадают, и это при$t=0$. Имеем (верхние индексы обозначают картинки Гейзенберга и Шредингера):

$$A^{H}(t=0)=A^{S},$$ для операторов и

$$|\psi^{S}(t=0)\rangle=|\psi^{H}\rangle,$$ для штатов.

Важно то, что значения ожидания одинаковы независимо от выбранной вами картинки (именно поэтому я сказал, что их можно использовать произвольно), поэтому мы имеем:

$$\langle\psi(t)|A|\psi(t)\rangle=\langle\psi|A(t)|\psi\rangle$$

Для получения дополнительной информации о картинках я предлагаю вам главу 2 книги Сакурая « Современная квантовая механика» .

2. Теперь скажи это в кадре$O$вы знаете физику в то время$t$(или параметр$s=t$если ты хочешь). Для второго кадра$O'$такая же физика происходит в$t'$что оказывается временем$t+r$в отношении$O$. Теперь вы должны перейти к рис. 3.1 в книге Баллентина и обсуждению под ним. Поскольку физика одинакова для каждого кадра:

$$|\psi'(t')\rangle=|\psi(t)\rangle$$

Но государство для$O'$это просто перевод времени по отношению к$O$, так:

$$e^{isH}|\psi(t')\rangle=|\psi(t)\rangle,$$

где кажется странным иметь то же самое$t'$слева, но вы должны помнить, что вы работаете в картине Шредингера, какие изменения происходят в состояниях ($\psi$к$\psi'$), а не параметр.

Окончательно,$t'=t+r$как упоминалось ранее, поэтому$t=t'-r$и:

$$e^{isH}|\psi(t')\rangle=|\psi(t'-r)\rangle.$$

В этот момент Баллентин говорит: «Положить$s=t'$" и получаем:

$$e^{it'H}|\psi(t')\rangle=|\psi(0)\rangle.$$

Но вы хотите инвертировать это, чтобы получить:

$$|\psi(t')\rangle=e^{-it'H}|\psi(0)\rangle,$$

или просто

$$|\psi(t)\rangle=e^{-itH}|\psi(0)\rangle.$$

Это все промежуточные состояния для вывода Баллентайна, я показываю вам только строгий путь, но ваш аргумент, по сути, один и тот же.

Наконец, уравнение (3.38) следует из этого, взяв производную по времени, как вы сказали.