Какое уравнение Шрёдингера верно? [дубликат]

Ваше второе и третье уравнения - это одно и то же уравнение. Они просто используют другое обозначение для производной по времени. Поскольку в этой «абстрактной» форме$|\Psi \rangle$зависит только от времени, возможно, правильнее использовать последний, но это дело вкуса.

Чтобы получить свое первое уравнение (волновое уравнение), вы должны спроецировать на$\langle x|$:

$$H(P=-i\hbar \partial _x , X=x)\Psi (x,t)=i\hbar \partial _t \Psi (x,t)$$

В этом случае$\partial _t$(скорее, чем$\frac{d}{dt}$) является лучшим обозначением, потому что теперь$\Psi$также зависит от координаты$x$.

Относительно комментария Ника Кидмана:

i) В абстрактном SE гамильтониан$H$является функцией «абстрактных» операторов$H=H(P, X)$(заглавные буквы относятся к операторам).

ii) Имеются канонические коммутационные соотношения$[X,P]=i\hbar$. Реализация или представление этого коммутационного отношения в (определенном) пространстве функций$f(x)$(нижний регистр$x$это координата вместо оператора)$X\,f(x)=x\,f(x)$и$Pf(x)=-i\hbar\partial _x \,f(x)$с$[x,-i\hbar\partial _x]f(x)=i\hbar f(x)$. (Можно доказать, что это единственное представление отношения коммутации по модулю унитарной эквивалентности в конечномерной системе. В КТП есть действительно разные представления.) Следовательно$P|x\rangle =-i\hbar\partial _x \,|x\rangle$и$X|x\rangle =x \,|x\rangle$

III) По определению$\Psi (x)\equiv \langle x|\Psi \rangle$.

I) Давайте переформулируем вопрос ОП так:

Какой символ дифференцирования по времени следует использовать в правой части зависящего от времени уравнения Шрёдингера?

Отвечать:

Какой бы символ это ни означало

$$\lim_{\Delta t \to 0} \frac{|\Psi(t+\Delta t )\rangle_S-|\Psi(t) \rangle_S }{\Delta t}.$$

Так что, по-видимому, оба предложения ОП работают. Здесь индекс "$S$" (и "$H$") обозначает картину Шредингера (Гейзенберга), где бюстгальтеры и кеты эволюционируют (неизменны), а операторы неизменны (эволюционируют) соответственно.

II) Упомянем для полноты, что в картине Гейзенберга:

1. $$|\Psi \rangle_H\quad \text{does not evolve in time}.$$

2. $${}_H\langle x,t |\quad \text{does not evolve in time}.$$

3. $$\psi (x,t) ~=~ {}_H\langle x,t |\Psi \rangle_H.$$

4. $$\begin{align} {}_H\langle x,t |\hat{x}(t)~=~& x ~{}_H\langle x,t | \cr~\Updownarrow~&\cr {}_H\langle x,t |\hat{x}(t)|\Psi \rangle_H ~=~& x \psi (x,t). \end{align}$$

5. $$\begin{align}{}_H\langle x,t |\hat{p}(t) ~=~& \frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial x} ~{}_H\langle x,t |, \cr~\Updownarrow~&\cr {}_H\langle x,t |\hat{p}(t)|\Psi \rangle_H ~=~& \frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial x} \psi (x,t).\end{align}$$

6. $$\begin{align} i\hbar\frac{\partial}{\partial t} {}_H\langle x,t | ~=~&{}_H\langle x,t |\hat{H}(t) \cr~\Updownarrow~&\cr i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi (x,t) ~=~&{}_H\langle x,t |\hat{H}(t) |\Psi \rangle_H\cr ~=~&(-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2}+V(x))\psi (x,t) .\end{align}$$

Полное объяснение см., например, в JJ Sakurai, Modern Quantum Mechanics.

Все ваши уравнения верны.

$$H\Psi(x,t) = i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(x,t)$$

говорит, что мы будем дифференцировать по времени, сохраняя x постоянным.

$$H|\Psi\rangle = i\hbar\frac{d}{dt}|\Psi\rangle$$

говорит, что мы дифференцируем по времени, и притом это все вектор состояния$|\Psi\rangle$зависит от.

$$H|\Psi\rangle = i\hbar\frac{\partial}{\partial t}|\Psi\rangle$$

имеет то же содержание, что и второе уравнение, просто нам не нужно быть осторожным, записывая частную производную, поскольку в нем нет других переменных.$|\Psi\rangle$помимо времени в любом случае, так что подойдет либо частная, либо полная производная.

Таким образом, во всех трех уравнениях мы дифференцируем относительно одной и той же зависимости от времени, просто иногда мы должны быть осторожны, есть ли другие переменные вокруг или нет.

Просто напомните себе, что означает фигурная буква d. Это просто обозначает частную производную, поэтому она одномерна, и функция зависит только от t, тогда она равна:

$$\frac{df(t)}{dt}$$

Во всех случаях, когда функция зависит от более чем одной переменной (например, x и t), вы должны использовать фигурную букву d, чтобы обозначить, что вы делаете частную производную.