Ковариантные и контравариантные векторы

Я понимаю, что в криволинейных координатах можно определить ковариантный базис и контравариантный базис. Мне кажется, что любой вектор можно разложить по любому из этих базисов, таким образом, можно иметь ковариантные компоненты и контравариантные компоненты одного и того же вектора, в зависимости от выбранного базиса. Однако меня смущает, когда люди говорят о ковариантных и контравариантных векторах. Имеют ли они в виду только ковариантные/контравариантные компоненты векторов или действительно существуют два различных типа/класса векторов? Если последнее, то ковариантные векторы можно разложить только по ковариантным базисам, а контравариантные векторы только по контравариантным базисам?

Ответы (2)

Мы не говорим о ковариантных и контравариантных базисах. Начните с основы { е я } . Тогда общий вектор можно записать

в "=" в я е я
Теперь, если вы удвоите длину базисного вектора, вы должны уменьшить компонент вдвое. Компоненты называются контравариантными, потому что они изменяются противоположно базису. В индексной записи этот вектор записывается просто в я , и мы называем его контравариантным вектором, что означает, что компоненты контравариантны.

Внутренний продукт

ты ⋅ в "=" г я Дж ты я в Дж
подсказывает определение
ты Дж "=" г я Дж ты я
The ты Дж являются компонентами вектора в двойственном пространстве. Поскольку скалярный продукт инвариантен, компоненты ты Дж изменяются противоположно контравариантным компонентам, т. е. изменяются так же, как базисные векторы. Они называются ковариантными компонентами, и мы называем их ковариантными векторами.

Технически контравариантные векторы находятся в одном векторном пространстве, а ковариантные векторы находятся в другом пространстве, дуальном пространстве. Но существует четкое соответствие 1-1 между пространством и двойственным ему пространством, и мы склонны думать о контравариантном и ковариантном векторах как о разных описаниях одного и того же вектора.

как насчет компонентов ты я ? Разве это не компоненты одного и того же вектора? ты ?
Я добавил пункт, чтобы уточнить.
Боже, я ждал, чтобы прочитать что-то подобное в течение многих лет! Спасибо.

У вас есть основа е я в некотором векторном пространстве.

Контравариантные компоненты вектора в даны в "=" в я е я , как говорит Чарльз Фрэнсис.

Ковариантные компоненты вектора в даны в я "=" в ⋅ е я

Я думаю, что это более простой способ думать о них, чем вникать в их свойства преобразования — хотя это, конечно, верно.

Между прочим, тогда очевидно, что ты ⋅ в "=" ∑ ты я в я (или ∑ ты я в я )

Я бы сказал (хотя математики не согласятся и, вероятно, понизят этот ответ как еретический), что вектор «физики» не является ни ковариантным, ни контравариантным. Это указательная стрелка. Если вы хотите сделать с ним что-то полезное, вы должны записать его компоненты, которые могут быть как ковариантными, так и контравариантными.

Проблема со стрелкой возникает, конечно, когда мы пытаемся применить ее к граду ф при работе в неортогональной системе координат { е я }. Компоненты град ф на этой основе существуют, но не дают нам того, что мы хотели бы иметь, а именно { ∂ ф ∂ Икс я }. [Эти производные являются компонентами на двойственной основе { е я }!] Так что я бы сказал, что не всегда ты с е ф ты л думать о векторах как о стрелках.
Если вы стоите на склоне холма (высота ≡ ф ) то вы знаете направление и величину град ф просто отпустив шарик и увидев, в каком направлении он движется и как быстро он ускоряется. Вы можете нарисовать это как стрелку. Без записи каких-либо компонентов и, следовательно, без привлечения основы. Но я согласен, что это сложная штука.
RogerJBarlow Спасибо за ответ. Дело не в том, что я говорю, что градиент нельзя рассматривать как стрелку, а в том, что стрелка таковой не является. с ты г г е с т я в е   о ф   ты с е ф ты л   ж а у с   т о   п р о с е е г в случае градиента, если мы работаем на неортогональной основе. Я не думаю, что мы действительно в разногласиях.
Ковариантные и контравариантные векторы
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v